特训01 平面向量 解三角形 压轴题（七大题型归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第二册,江苏专用）

特训01 平面向量 解三角形 压轴题（七大题型归纳） 目录： 题型1：平面向量的线性运算与数量积 题型2：平面向量的基本定理 题型3：平面向量与解三角形 题型4：平面向量数量积的坐标表示 题型5：解三角形 题型6：解三角形的实际应用 题型7：平面向量的新定义题型 题型1：平面向量的线性运算与数量积 1．如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.    (1)求边BC的长度； (2)设，，，当时，求k的值. 2．如图，在梯形ABCD中，，E、F是DC的两个三等分点，G，H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足．AP分别交EG、FH于M，N两点，记，． (1)当时，用，表示； (2)若，求的取值范围． 题型2：平面向量的基本定理 3．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 4．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=    (1)试用，表示； (2)若，求∠ARB的余弦值 (3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 5．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. (1)求证：； (2)设，，，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围. 6．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 题型3：平面向量与解三角形 7．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：    (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围. 8．如图所示的矩形中，分别为线段上的动点. (1)若为靠近的三等分点，为的中点，且，求的值； (2)若是边长为1的正三角形. （i）令、、的面积分别为，，，证明：； （ii）求矩形面积的最大值. 9．在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 10． “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， (1)若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 题型4：平面向量数量积的坐标表示 11．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标． (1)若，求． (2)若，求在上的投影向量斜坐标． (3)若，，，求的最小值． 12．已知平面直角坐标系中，点，点（其中为常数，且），点为坐标原点. (1)设点为线段近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点是线段的等分点，其中， ①当时，求的值（用含的式子表示）； ②当时.求的最小值. （说明：可能用到的计算公式：）. 13．如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.    (1)若D是BC中点，求； (2)若点P满足， ①求的取值范围； ②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值. 14．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 题型5：解三角形 15．通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.    (1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 16．在面积为的中，内角所对的边分别为，且． (1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围； (2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值． 题型6：解三角形的实际应用 17．铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相