重难点02 奔驰定理与三角形的“四心”（6类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦三角形“四心”性质与奔驰定理，构建从单一心到综合应用的知识体系，通过多样化题型培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重心问题|6题|单选为主，结合向量表达式判断轨迹|从重心向量基本定理到面积比计算，层层递进| |内心问题|6题|单选、多选、填空，涉及单位向量与角平分线|以内心向量表达式为核心，关联三角形边角关系| |外心问题|8题|单选、多选、填空，结合模长与余弦定理|从外心定义出发，构建向量模长与外接圆性质的联系| |垂心问题|8题|单选、多选、填空，涉及垂直向量数量积|通过垂心向量垂直关系，推导三角形高线性质| |四心综合问题|6题|单选、多选，多心性质辨析|整合四心定义与向量表达，强化概念辨析能力| |奔驰定理|6题|单选、多选，结合面积比与心的判定|以奔驰定理为工具，建立面积关系与四心性质的桥梁|

重难点02 奔驰定理与三角形的“四心” 考点01重心问题 考点05四心综合问题 考点02内心问题 考点06奔驰定理 考点03外心问题 考点04垂心问题 考点01重心问题 1．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 2. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 3. 已知是所在平面上的一点，若（其中为平面上任意一点），则点是的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4.已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则△ANG与的面积之比为__________. 6．已知O是内一点，，且，则的面积为____ 考点02内心问题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（25-26高一下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 3．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知为所在的平面内一点，则下列命题错误的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 4．（多选）（25-26高一下·福建宁德·月考）下列结论正确的是（   ） A．为平面内一定点，如，则、、三点共线 B．非零向量，满足，则与的夹角为锐角 C．已知，是与同方向的单位向量，则 D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 5．（25-26高一下·云南红河·月考）已知的内心为，且，则______． 6．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 考点03外心问题 1．（25-26高一下·广东东莞·期中）点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 2．（2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．平面向量和 满足， 在上的投影向量为，则在上的投影向量为 C．若 是的外心，且，，则 D．平面向量，， 满足，且，则为等腰三角形 5．（多选）（25-26高一下·重庆万州·月考）在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一下·江苏常州·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ） A．三个内角满足关系 B．的周长为15 C．角平分线的长为 D．若为的外心，则 7．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知为的外心，，，则 __________． 8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）在中，已知，点为三角形的外心，则______． 考点04垂心问题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川达州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等 B．若，，则 C．若向量，是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D．若为的垂心，则 4．（多选）（25-26高一下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A．为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B．在中，若点满足，则为的垂心 C．在中，若，则为钝角三角形 D．若，且有两解，则的取值范围是 5．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知为的垂心，角，，所对的边分别为，，，且，，则一定有（   ） A． B． C． D．若，则 6．（多选）（25-26高一下·山东青岛·月考）对于，有如下判断，其中正确的判断是（   ） A．若，则符合条件的有两个 B．若点为的重心，则 C．若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心 D．已知是内一点，若分别表示的面积，则 7．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）设是锐角三角形的垂心，若，则______. 考点05四心综合问题 1．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 2．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·月考）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 4．（多选）（25-26高一下·贵州黔南·月考）已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 5．（多选）（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 6．（多选）（25-26高一下·河南郑州·期中）（或）是的一种向量表达．同样，三角形还有其他向量表达：已知是内的一点，内角的对边分别为，则，其中分别是的面积．下列结论正确的是（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，，则 D．若点是锐角的垂心，且，则 考点06奔驰定理 1．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 3．（多选）（24-25高一下·重庆万州·期中）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高三上·河北保定·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 5．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 6．（多选）（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 奔驰定理与三角形的“四心” 考点01重心问题 考点05四心综合问题 考点02内心问题 考点06奔驰定理 考点03外心问题 考点04垂心问题 考点01重心问题 1．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 2. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【解析】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 3. 已知是所在平面上的一点，若（其中为平面上任意一点），则点是的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】C 【解析】由已知得， ∴，即， 由“是的重心”知点是的重心。 4.已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【解析】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 5．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则△ANG与的面积之比为__________. 【答案】/0.25 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，所以，即， 设，则， 又因为，所以， 又因为，所以，即， 则， 所以与的面积之比， 故答案为： 6．已知O是内一点，，且，则的面积为____ 【分析】由题意判断O为的重心，可得，结合，求出，可求得，即可求得答案. 【解析】由题意知O是内一点，， 设D为的中点，则， 故O为的重心，则，    又且，则， 故， 则， 考点02内心问题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．（25-26高一下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 3．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知为所在的平面内一点，则下列命题错误的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 【答案】C 【分析】对A，利用垂心的性质，得求解判断；对B，对作线性变形整理得到判断；对C：由可知动点的轨迹是边的中线，仅过重心，不必然经过内心；对D：结合对变形，推得在的中线上，结合外心性质可得. 【详解】对于选项A：若是的垂心，所以，故， 因此，又，所以，A命题正确； 对于选项B：由， 移项得，即， 说明在边的中线上，且分中线为，符合三角形重心的性质，B命题正确； 对于选项C：， 说明的轨迹是中边的中线（从出发的射线）. 而内心是角平分线的交点，仅当时内心才在中线上， 任意三角形的内心不一定在中线上，因此动点的轨迹不一定经过内心，C命题错误； 对于选项D：由，取中点，则， 又，所以，整理得，所以三点共线， 又为锐角外心，可得，因为为中点，所以， 所以，所以，D命题正确. 【点睛】本题考查平面向量与三角形五心的结合，核心是利用向量的线性运算、数量积运算，结合三角形五心的位置特征与对应向量性质判定命题正误 4．（多选）（25-26高一下·福建宁德·月考）下列结论正确的是（   ） A．为平面内一定点，如，则、、三点共线 B．非零向量，满足，则与的夹角为锐角 C．已知，是与同方向的单位向量，则 D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 【答案】ACD 【分析】根据 且 与 有公共点 可判断A；根据已知条件及向量的数量积公式求得，得出，验证的情况可判断B；求出与同方向的单位向量 判断C；根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，由向量等式结合单位向量的和的特点可判断点的轨迹过的内心. 【详解】对于 A ，因 ，则 ，即 ， 也即 ；因为 与 有公共点 ，故 A 、 B 、 C 三点共线，故 A 正确； 对于 B ，因 ，则当 时，即 ， 因为 ，所以 ．又因 ，所以 ， 而当 时， ，此时夹角不是锐角，故 B 错误； 对于C ，因 ，则 ，则与同方向的单位向量为 ，故 C 正确； 对于D ，因为 是与 同方向的单位向量， 是与 同向的单位向量， 则以 和 对应线段为邻边的平行四边形是菱形，故 所在直线平分 ， 又因 ，则点的轨迹为的角平分线所在直线，必过 的内心，故 D 正确. 5．（25-26高一下·云南红河·月考）已知的内心为，且，则______． 【答案】 【分析】借助奔驰定理，以此得出三角形三边之比，然后利用余弦定理计算即可 【详解】先证明奔驰定理：. 证明：延长与交于点， 则 ， 根据，有， 由共线定理有， 根据代入 ) ， 移项合并有， 所以， 在中，设、、的对边分别为、、， 因为，由奔驰定理得， 所以，故． 故． 6．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 【答案】 【分析】根据为的内心，可以得到等式，由，，分别表示，，得到关于，，的等式，令两个等式相对应的系数相等即可. 【详解】插入分点，得， 即， 又，从而有，得， 所以， 故答案为：. 考点03外心问题 1．（25-26高一下·广东东莞·期中）点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】D 【详解】取线段的中点，则， 因为，所以， 则，所以， 则点的轨迹经过的外心. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则， 所以是的外心. 3．（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形外心的性质，得到，，再通过，两边分别点乘，，结合数量积运算律即可求解. 【详解】因为为外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中点）， 即在上的投影为，在上的投影为， 所以 ，， 又， 两边点乘得： ， 即， 整理得：，（1） 两边点乘得： , 即， 整理得：，（2） 联立（1）（2），消去得： ， 化简得： ，即. 4．（多选）（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．平面向量和 满足， 在上的投影向量为，则在上的投影向量为 C．若 是的外心，且，，则 D．平面向量，， 满足，且，则为等腰三角形 【答案】CD 【分析】由向量的夹角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可判断A；根据在上的投影向量公式可求得，再利用在上的投影向量公式即可判断B；利用的外心性质结合向量运算即可判断C；根据向量的运算性质可得为的垂线且在的角平分线上，从而可判断D. 【详解】对于A，已知，，且与的夹角为锐角， 可得，且与不共线，， 即有，且， 解得且，则实数的取值范围是，故A不正确； 对于B，，所以，， 因为在上的投影向量为， 所以，则在上的投影向量为，故B不正确； 对于C，因为是的外心，所以(为的外接圆半径)， 又因为，所以，即， 同理可得， 两式相减得，即有，故C正确； 对于D，由于，即，， 得，即为的垂线， 又由于，表示与同向的单位向量， 表示与同向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，其对角线平分内角， 所以在的角平分线上， 所以为等腰三角形，故D正确. 5．（多选）（25-26高一下·重庆万州·月考）在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据三角形外心、角平分线的性质与向量有关知识求解. 【详解】 对于A选项，若，则O为的重心， 那么的外心与重心重合，则为正三角形与题设不符合，故A错误； 对于B选项，根据角平分线的性质可知，,所以，，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，, 化简可得，，故C正确； 对于D选项，由可得 , 由于 即 所以，D正确. 6．（多选）（25-26高一下·江苏常州·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ） A．三个内角满足关系 B．的周长为15 C．角平分线的长为 D．若为的外心，则 【答案】AC 【分析】先利用正弦定理设出三边长，结合余弦定理和面积公式求出边长与内角；再利用三角形内角和验证选项A，计算周长验证选项B，通过面积法求角平分线长度验证选项C，利用外心的向量性质计算向量数量积验证选项D. 【详解】由正弦定理，设，，（）. ，故， 则，，A正确. 由，得， 解得，故，，. 的周长为，B错误. 设角平分线交于，由， 得，解得，C正确. 设是三角形外接圆的圆心，设是的中点，连接， 则，且，，所以， 设是的中点，连接， 则，且，，所以， 故，D错误. 7．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知为的外心，，，则 __________． 【答案】-10 【分析】首先利用以及向量数量积的运算律把问题转化为，然后利用外心的性质即可求解. 【详解】 ， 取中点，则，在方向上的投影为， 因此， 同理可得：， 所以 . 8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【答案】/ 【分析】先根据余弦定理求出的长度，再根据外心的性质以及数量积的定义求解即可. 【详解】中，，由余弦定理可得： ，. 因为点为三角形的外心，所以在上的投影为. . 考点04垂心问题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂心的性质得到向量的数量积，解方程组求得，最后求. 【详解】因为是的垂心，所以， 因为， 所以， ，即，即， ， ， ， 所以， . 3．（25-26高一下·四川达州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等 B．若，，则 C．若向量，是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D．若为的垂心，则 【答案】D 【详解】若两个单位向量共线，则这两个单位向量相等或互为相反向量，A错误； 当时，得，，此时向量，不一定平行，B错误； 当四边形是平行四边形时，满足向量，是共线向量， 但点，，，不在同一条直线上，C错误； 若为的垂心，可得， 则，D正确. 4．（多选）（25-26高一下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A．为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B．在中，若点满足，则为的垂心 C．在中，若，则为钝角三角形 D．若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】选项A ：由，移项得， 即，等价于， 且与共线且有公共点，故三点共线，A正确.   选项B ：由，移项得， 即，故； 同理可得，，满足垂心定义，B正确. 选项C： ，即， 仅能说明为锐角，无法判定为钝角三角形，C错误. 选项D ：已知，，设，. 已知角、其对边及邻边，有两解的充要条件是. 代入数据得，解得，即，D正确. 5．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知为的垂心，角，，所对的边分别为，，，且，，则一定有（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】由两角和的正弦公式化简计算可判断A；连接交与点，由向量数量积的几何意义、余弦定理及基本不等式计算可判断B；若为的重心，则，结合题意可判断C；由两角差余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简可得，结合正弦函数性质计算可得，结合B选项可判断D， 【详解】对于A，在中，，则， 所以， 所以，即， 因为，所以，则，，故A正确； 对于B，因为为的垂心， 连接交于点，则， 由向量数量积的几何意义可知， 在中，，所以， 由余弦定理可得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，故B正确； 对于C，当为的重心时，此时为边的中点， ， 当为等边三角形时，的重心与垂心重合，成立， 若不是等边三角形，则不成立，故C错误； 对于D，因为，则，， 所以可化为， 化简可得，即， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以为等边三角形，结合B选项可知，故D正确. 6．（多选）（25-26高一下·山东青岛·月考）对于，有如下判断，其中正确的判断是（   ） A．若，则符合条件的有两个 B．若点为的重心，则 C．若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心 D．已知是内一点，若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【分析】对于A，根据正弦定理求得，再结合即可判定；对于B，根据重心为中线交点判断即可；对于C，根据判断；对于D，设的中点分别为，进而得，再结合面积公式判断. 【详解】对于A，由正弦定理可知，即，解得， 又，所以，故A只有一解，所以三角形一解，故A错误； 对于B，因为点为的重心，设中点为，则，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确； 对于D，因为，所以， 设的中点分别为，如图，则，即， 所以，故D正确． 7．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 【答案】 【分析】作于，根据为的垂心得出，再由，求出与的关系，再由三角形面积公式求面积. 【详解】过点作于，因为为垂心，所以三点共线， 在中，，所以， 所以. 在中，， 所以，又，所以， 所以， 因此. 故答案： 8．（25-26高三·全国·一轮复习）设是锐角三角形的垂心，若，则______. 【答案】 【分析】结合已知条件，根据向量共线，可得，从而求得，根据同角三角函数关系式，求得，即可得. 【详解】如图所示，取的中点，取的中点，连接，则. 因为，所以，所以. 所以三点共线，且. 连接，则，且. 所以. 如图2：在线段上取，使得：.连接， 取的中点，取的中点，连接， 则. 因为，所以，所以. 所以三点共线，且. 因为为的中点，所以，且，所以 所以. 综上所述. 设则. 因为锐角中，， 所以， 所以，解得：,所以. 所以解得：. 如图2，四边形中，，所以. 故答案为：. 考点05四心综合问题 1．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 2．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 3．（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·月考）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 【答案】BC 【详解】记边的中点为，则， 由，得，所以点在中线上，且， 所以是的重心，所以A错误； 若满足，则 O到 各顶点距离相等，所以O 是 的外心，所以B正确； 若满足，则， 即，所以点的轨迹为角的平分线，所以经过的内心，所以C正确； 由，得，所以， 同理可得，， 即 ，所以 P 是 的垂心，所以D错误. 4．（多选）（25-26高一下·贵州黔南·月考）已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 【答案】BD 【详解】对于A，因为，故， 整理得， 又， 所以，则， 因为方向的单位向量， 故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线， 所以O为的内心，故A错误； 对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，即，则，同理可得， 所以点O为的垂心，故C错误； 对于D，因为，所以， 设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确． 5．（多选）（25-26高一下·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 【答案】ACD 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以，故， 所以，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理知， 所以，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 由余弦定理得，所以， 内切圆半径为，所以， 所以，而，所以， 所以，故D正确. 6．（多选）（25-26高一下·河南郑州·期中）（或）是的一种向量表达．同样，三角形还有其他向量表达：已知是内的一点，内角的对边分别为，则，其中分别是的面积．下列结论正确的是（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，，则 D．若点是锐角的垂心，且，则 【答案】ACD 【分析】本题利用题目给出的三角形内点的向量面积公式，结合重心、内心、外心、垂心的几何性质，分别对四个选项进行验证：通过向量线性运算与中点性质判断A，利用内心的面积比例关系判断B，结合外心的向量恒等式与三角恒等变换判断C，借助垂心的垂直关系与向量点乘、余弦定理判断D，最终得出正确选项为ACD． 【详解】 对于A， 取的中点，因为， 所以，所以为的重心，A正确； 对于B， 设内切圆的半径为，因为， 所以由，可得，B错误； 对于C，为的外心，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，从而，C正确； 对于D， 延长，交于． 因为，所以， 又，所以， 即， 化简得，则， 所以，整理得①， 同理，因为，所以②， 由①②解得，所以，D正确． 考点06奔驰定理 1．（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 2．（多选）（24-25高一下·广东·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）（24-25高一下·重庆万州·期中）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解. 【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 4．（多选）（23-24高三上·河北保定·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】BC 【分析】由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项；由外心可知，即可判断C选项；由内心可知，满足勾股定理，D选项正确. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，， 因为，所以，即共线，故B错误． 对于C，当为的外心时，， 所以， 即，故C错误． 对于D，当为的内心时，（为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：BC. 5．（多选）（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 6．（多选）（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $