专题24 抛物线（解答题压轴题）-【挑战压轴题】备战2024年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题24 抛物线（解答题压轴题） 目录 ①抛物线焦点弦（弦长）问题 1 ②抛物线中点弦问题 3 ③抛物线中参数范围与最值问题 5 ④抛物线中定点、定值、定直线问题 7 ⑤抛物线综合问题 9 ①抛物线焦点弦（弦长）问题 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P. (1)若，求的方程； (2)若，求. 2．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值. 3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，． (1)求抛物线E的方程； (2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程． 4．（2023·全国·高二随堂练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求及的面积. 5．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知抛物线是它的焦点. (1)过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求线段的长； (2)为抛物线上的动点，点，求的最小值. 6．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过． (1)求的方程； (2)若直线过的焦点，且与交于，两点，，求的方程． ②抛物线中点弦问题 1．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）直线：与抛物线：交于，两点，且 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率． 2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与抛物线相交于、两点. (1)若直线过点，且倾斜角为，求的值； (2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程. 3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB恰好被点平分. (1)求直线l的方程； (2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由. 4．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点． (1)求线段PQ中点纵坐标的值； (2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·全国·高二专题练习）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点． (1)求线段中点纵坐标的值； (2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 6．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，是抛物线C上一点，，且． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段的中点坐标为，求直线l的方程． ③抛物线中参数范围与最值问题 1．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知动圆过点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线；过点的直线与曲线交于，两点，曲线在，两点处的切线交于点. (1)证明：； (2)设，当时，求的面积的最小值. 2．（2023·全国·高一随堂练习）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，求的最小值. 3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围． 4．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1． (1)求抛物线的方程； (2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值． 5．（2023秋·广东佛山·高三校联考阶段练习）已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 6．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上.已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若的面积为. (1)求的值； (2)过点的直线交抛物线于点（异于点），交轴于点，过点作直线的垂线交拋物线于点，若点的横坐标为正实数，直线和抛物线相切于点，求正实数的取值范围. ④抛物线中定点、定值、定直线问题 1．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为