2024年湖南省长沙市九年级中考数学二轮专题复习 题型四 圆的综合题

2024长沙中考数学二轮专题复习 题型四 圆的综合题 类型一　与圆的基本性质结合 典例精讲 例　已知A、B、C是⊙O上的三点，AB＝AC，∠BAC＝120°. (1)如图①，连接OA，OB，求证：△ABO是等边三角形； 例题图① 【思维教练】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形进行求证． (2)连接BC，若⊙O的半径为2，求线段BC的长； 【思维教练】连接OB，OA，利用垂径定理求解． (3)如图②，若点D是∠BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC. ①探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由； ②若AB＝3，点E是CD的中点，当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长． 例题图② 【思维教练】①将△ABD绕点A逆时针旋转120°，结合圆内接四边形及三角函数求解； ②点D为主动点，点E为从动点，由点D的运动轨迹可知点E的运动轨迹也为圆弧，找出圆心及半径，利用弧长公式求解． 针对训练 1. (2023长沙25题10分)如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动(点C与点P，Q不重合)，连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ. (1)求sin∠AOQ的值； (2)求的值； (3)令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R (R>0，R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围． 第1题图 2. (2022长沙25题10分)如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE. (1)求∠AOB的度数； (2)当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度； (3)分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S－S＝21时，求弦AC的长度． 第2题图 类型二　与切线的性质结合 (10年3考) 典例精讲 例　如图，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T，连接OP. (1)当C点运动到O点时． ①求PT的长； ②延长AB、PT，交于点D，求证：△POT∽△PDO； 例题图 【思维教练】①运用勾股定理求解； ②运用切线的性质证明两三角形的角相等，即可求证． (2)当C点运动到A点时，连接BT，求证：PO∥BT； 【思维教练】证明两三角形全等，得到等弧所对的圆心角、圆周角之间的关系，利用同位角相等，两直线平行求证． (3)设PT＝y，AC＝x，求y关于x的函数解析式，并求出y的最小值． 【思维教练】运用切线的性质及勾股定理求解． 针对训练 1. (2023长沙模拟)如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB. (1)求证：AC平分∠FAB； (2)求证：BC2＝CE·CP； (3)当AB＝4且＝时，求弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积． 第1题图 2.如图，点C是以AB为直径的半圆O上圆心右侧的一点，连接BC，在BC的上方作∠BCM＝45°，CM交半圆O于点M，过点M作半圆O的切线，与AC的延长线交于点D，当点C与点A重合时，AD⊥AB，且AD＝AB.连接MB，BD. (1)求证：①＝； ②MD∥AB； (2)当sin∠CBM＝时，求tan∠CBD的值； (3)若AB＝5，求点C在半圆O上，从点A移动到AD的中点时，点D移动的路径的长． 第2题图 类型三　与切线的判定结合 (10年3考) 典例精讲 例　如图①，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边BC相交于点D，与边AB相切于点E，AC＝AE，连接OA交⊙O于点F，连接CF并延长交线段AB于点G. (1)求证：AC是⊙O的切线； 例题图① 【思维教练】已知点E是切点，则可连接OE，证明两三角形全等，可得到∠OCA＝90°即可求证． (2)若AB＝5，tanB＝，求⊙O的半径； 【思维教练】由题意可得两直角边的比例关系，利用勾股定理即可求解． (3)若CD＝3BD，求sin∠OAB的值； 【思维教练】根据题中所给线段数量关系，利用勾股定理及相似三角形的性质求解． (4)如图②，若F是OA的中点，CG＝3，求阴影部分的面积； 例题图② 【思维教练】求出扇形圆心角度数，利用S阴影＝S△BCG－S△COF－S扇形DOF求解． (5)如图③，若G是AB的中点，连接EF，求证：CF＝GE. 例题图③ 【思维教练】利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质求证．