第十七章勾股定理(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年八年级下册数学高频易错重难点培优讲义（人教版）

第十七章勾股定理

 

 

1．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

2．勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

3．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以

斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

 

 

一、单选题

1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　）

A．3 B．10 C．12 D．15

2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4 B．3，，5 C．5，12，13 D．4，4，8

3．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（    ）

A．5 B．3 C．5 D．2

4．如图，一个底面周长为24，高为5的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（   ）

A． B． C． D．

5．下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ）

A．4，5，6 B．3，4，5 C．6，8，11 D．5，12，23

6．由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ）

A． B．

C． D．

7．如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

8．毕达哥拉斯定理（即勾股定理）提出后，其学派中的一个成员西帕索斯考虑了一个问题：“边长为的正方形其对角线长度是多少呢？”请同学们来回答其对角线长度是（    ）

A． B． C． D．

9．由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．7，24，25 B．4，5， C．3，5，4 D．4，5，6

10．下列各组数为勾股数的是（  ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

二、填空题

11．为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1     ．（填“＞”或“＜”或“=”）

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则AE＝   ．

13．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，OC＝2，以O为圆心，OB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数是        ．