专题8.2 因式分解及其应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题8.2 因式分解及其应用 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 配方法：配方，主要指的是配成平方公式，或二数和的平方，或二数差的平方，将配成的“平方”视作为一个整体，然后再根据已知条件进行运算，从而使题目简化得以解答。 配方的方法： ①根据已知条件的表现形式，去发现平方项和一次项的乘积形式，如果平方项互为倒数，则往往一次项以常数出现，隐藏了一次项的乘积不易发现，此时，就要抓住平方公式的特点去发现和挖掘； ②从要求的结果方面去配方，将要求的表达式向着已知条件的表现形式去配方，利用已知条件达到解题的目的.由于配方扩大了已知条件和要求解的范围，可能会产生不符合要求的结果，就要根据已知条件和所要求解的结果进行讨论，舍去不符合题意的答案. · 知识点总结 一、因式分解 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以下公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式。 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 · 典例分析 【典例1】分解因式： （1）； （2）； （3）计算：； （4）． 【思路点拨】 （1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得； （2）利用分组分解法进行因式分解即可得； （3）先利用公式法分解和，从而可得的值，再代入计算即可得； （4）先利用十字相乘法分解，再利用提公因式法进行因式分解即可得． 【解题过程】 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， ， ， ； （4）原式 ． · 学霸必刷 1．（2024七年级·全国·竞赛）若是正整数，且，则的最小值是 ． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若，则 ． 3．（23-24八年级上·四川内江·期中）设为正整数，且，则等于 ． 4．（22-23八年级上·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则 ． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，且互不相等，则 ． 6．（22-23七年级下·全国·单元测试）若可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么的最小值是 ． 7．（2023·重庆巴南·一模）一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”． 例如，对于258，因为，所以258是“合十数”． 在“合十数”n中，十位数字的2倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”n满足，则满足条件的“合十数”n的值为 ． 8．（23-24八年级上·全国·课时练习）利用因式分解计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解 （1） （2） （3） （4） 10．（22-23八年级·重庆·阶段练习）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 11．（22-23七年级下·全国·单元测试）分解因式： 12．（23-24九年级上·湖北·周测）因式分解： （1） （2） 13．（22-23九年级上·广东·阶段练习）因式分解： （1） （2） 14．（23-24七年级上·广东广州·期中）求解下列问题： （1）试确定和，使能被整除． （2）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求． （3）已知，求的值． 15．（23-24八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】 小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究： （1）现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示