2024年中国国家集训队测试三数学试题三、四

2024年中国国家集训队测试三 第一天 1.对自然数n,记 (2n)! C.= n!(n+1)! 是卡塔兰数,求证;对任意自然数m,均有 C 3 CCC= -C2m+1. ## 2m+3 2. 对正整数n和(1.2....n)的子集S,称S为n-好集合”当且仅当对任 意x.yES(允许相同),若x+y<n,则r十iES.定义rn为最小的实 数,使得对任意正整数m<n,都存在n元的n-好集合”,满足其元素之和不超 过m r.求证:存在实数o,使得对任意正整数n,都有lr.一onl<2024. 3.给定整数n>1.设实数x>1满足 r101-r100+nr-1-0. 求证:对任意实数0<a<b<1,存在正整数n,使得a<[x”)<b 2024年中国国家集训队测试三 第二天 4. 已知整数m1使区间2m一v+1.2ml中有质数,求证:对任意互不相 同的正整数a1.a2.....am,都存在1<i.j<m.满足 (i.n) 5. 已知凸五边形ABCDE.满足 BD=CD=AC:且 B.C.D.E 共圆 若 BAC+ AED=180*, DCA= BDE,求证:AB-DE或AB= AE$$ 6. 设m.n. 是自然数,ao.a...bo.b...b.是非负实数对o<k< m+n,记=maxab.求证: co+.+Cn ao+a+...+am b+bt+...+b n+1十1 m1 n十1 2024年中国国家集训队测试四 第一天 1. 给定正整数n.一个边长为3n的正三角形被分成了9r2个单位正三角形,每 个单位正三角形被染为红、黄、蓝三种颜色之一,满足每种颜色恰好出现3n}次 称由三个单位正三角形组成的梯形为“标准梯形”,如果一个标准梯形中的三个小三 角形染为三种不同的演色,则称它为“多彩梯形”,求多彩梯形个数的最大值。 2. 称一个正整数为好数,如果可以将其十进制表示划分为至少5段,使得每 段至少有一个非零数码,且将每段视作一个正整数(忽略开头的所有零)后,可 将这些正整数分为两组,满足每组内按照适当顺序排列后形成等比数列(若某组 由1或2个正整数构成,也视为等比数列),例如20240327为好数,这是因为将 其划分为2102|4031217后:210212与40317形成两组等比数列. 10-1-1为 若整数a1.m>2使p=1+a+a②+..+a”为质数,求证: 好数。 p 3. 设整数n3. 设-n(n-1)个非负实数a(1<i<j<n)满足对任 意1<i<j<kn.均有a+a<ak.求证: [##)} 2024年中国国家集训队测试四 第二天 4.给定等腰三角形ABC,其中AB-AC.动点D满足AD|lBC,BD>CD 动点E在 ABC外接圆不含A的狐 BC上,满足EB<EC. 射线 BC上的 点 F满足乙ADE=ZDFE 设射线FD交射线 BA 于点X,射线 FD交射 线CA于点Y.求证:乙XEY为定值 5. 设复系数多项式P()=an”+.+a:+ao(a。0),满足当;= 1时|P=)l<1.求证:对任意0 k n-1,均有lal<1-lal} 6. 记N-102024.设S是平面直角坐标系中边平行于坐标轴、边长为N的正方 形,其内部有N个横坐标互不相同的点B.P.....P.满足任两点连线斜率的绝 对值不超过1. 求证:存在直线1,使得其中至少有2024个点与1的距离不超过1.