专题01 三角形的证明（考点清单，知识导图+7个考点清单、题型解读）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

清单01三角形的证明 【考点题型一】等腰三角形的判定和性质 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【例1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，，，为的中点，在边上取一点，连接，过点作交边于点，连接．下列结论正确的个数是　　个． ①；②四边形的面积等于面积的一半；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】.（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，和的平分线交于点E，过点作分别交、 于、，，，则长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】.（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当为多少度时，？请说明理由． 【变式1-4】.（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点． (1)求证：． (2)当时，求证：平分． 【考点题型二】等边三角形的判定和性质 1.等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 2.等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 3.等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点；连结，交交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式2-1】（23-24八年级上·四川攀枝花·期中）如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式2-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ②  ③为等边三角形  ④  ⑤平分，其中正确的有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-3】.（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知是等边三角形，，，为的中点，连接，． (1)如图1，点D在线段的延长线上， ①求证：； ②直接写出线段与之间的数量关系． (2)如图2，点D在直线外，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式2-4】.（23-24八年级上·湖北荆门·期中）在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．    (1)如图1，点M在边上，求证：； (2)如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系： 【考点题型三】直角三角形的判定和性质 1. 直角三角形全等的判定 （1）直角三角形全等一般判定定理： 直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS) （2）直角三角形全等的HL判定定理： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL） 综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL. 2.直角三角形的性质 1. 定理：直角三角形的两个锐角互余； 2.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 3. 推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半； 4.推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 【例3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式3-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中