江苏省常州市第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，则(    ) A. B. C. D. 2.若，，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.在中，，则的形状一定是(    ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4.已知向量，，那么“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知向量，，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 6.已知，且，则等于(    ) A. B. C. D. 7.若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的单调递减区间为(    ) A. B. C. D. 8.已知中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中正确的是(    ) A. 在中，，，，若，则为锐角三角形 B. 非零向量和满足，，则 C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D. 在中，若，则与的面积之比为 10.已知函数，则下列命题正确的是(    ) A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是 D. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则． 11.直角中，斜边，为所在平面内一点，其中，则(    ) A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，，，，则______． 13.设、、是单位向量，且，则的最小值为______． 14.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当           时，． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知 当为何值时，与垂直 若，且、、三点共线，求的值． 16.本小题分 已知向量和，则，，求： 的值； 的值； 与的夹角的余弦值． 17.本小题分 如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点．若，． 试以为基底表示，； 求证：，，三点共线． 18.本小题分 已知函数． Ⅰ化简的表达式并求函数的周期； Ⅱ当时，若函数在时取得最大值，求的值； Ⅲ在Ⅱ的条件下，将函数图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间． 19.本小题分 已知点为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． 设函数，试求的相伴特征向量； 记向量的相伴函数为，当，且时，求的值； 已知点、，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，， 则． 故选：． 直接利用向量的数量积化简求解即可． 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查． 2.【答案】  【解析】解：设，则， ，解得， ． 故选：． 可设，根据条件可得出，然后得到，的值，从而得出点的坐标． 本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：由，得， 所以，即， 所以， 所以是直角三角形． 故选：． 先用向量表示出，结合向量运算可进行判定． 本题主要考查平面向量的运算，结合向量的运算判断三角形的形状，侧重考查数学运算的核心素养． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查充分、必要条件的判断，以及向量平行，属于基础题． 由向量平行求出的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可． 【解答】 解：向量，，，则，解得， 则“”是“”的充分而不必要条件， 即向量，，那么“”是“”的充分而不必要条件， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：在上的投影向量是， 故选：． 根据投影向量的定义计算即可． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题． 6.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于一般题．