第16讲 直线与圆锥曲线的位置关系（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第16讲　直线与圆锥曲线的位置关系（3大考点+强化训练） [考情分析]　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等． 知识导图 考点分类讲解 考点一：弦长问题 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝， 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 易错提醒　(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等． (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉． (3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立． 【例1】（22-23高三·全国·对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【变式1】（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 . 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为 ． 考点二：面积问题 规律方法　圆锥曲线中求解三角形面积的方法 (1)常规面积公式：S＝×底×高． (2)正弦面积公式：S＝absin C. (3)铅锤水平面面积公式： ①过x轴上的定点：S＝a|y1－y2|(a为x轴上定长)； ②过y轴上的定点：S＝a|x1－x2|(a为y轴上定长)． 【例2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点记为，且的面积为2，则椭圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知是左、右焦点分别为的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】（2024·山东泰安·一模）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 考点三：中点弦问题 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k. 若E的方程为＋＝1(a>b>0)， 则k＝－·； 若E的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则k＝·； 若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝. 规律方法　处理中点弦问题常用的求解方法 【例3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 强化训练 一、单选题 1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）将抛物线绕原点顺时针旋转得到抛物线，若抛物线与抛物线交于异于原点的点，记抛物线与的焦点分别为、，且四边形的面积为8，则（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上(顶点除外)任意一点，若的角平分线与以为直径的圆交于点，则的面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 4．（2023·四川资阳·三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（    ） A． B．4 C． D． 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·江西·