数列的恒成立问题专练-2024届高三数学二轮专题复习

数列中恒成立问题专练 一、解答题 1．在数列中，是其前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，恒成立，求的取值范围． 2．物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，） 3．已知正项数列的前项和为，且满足，，数列为正项等比数列，且依次成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，的前项和为，问是否存在正整数使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围． 5．已知点集，其中，点为与轴的公共点，等差数列的公差为1． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和满足对任意的都成立，求的取值范围． 6．已知数列的前项和为，且满足. (1)证明：. (2)当时，求证：； (3)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 7．已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 8．在数列中，，，，若对所有恒成立，求λ的取值范围． 9．已知等差数列的公差，且成等比数列，的前项和为，63，设，数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 10．已知数列满足，. (1)若，求数列的前n项和； (2)若，设数列的前n项和为，求证：. 11．已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 12．设为数列的前项和，已知为等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，设，记为数列的前项和，证明：． 13．已知数列满足，． (1)求证：； (2)设数列的前项和为，求证：当时，． 14．已知单调递增的等比数列满足，且是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若,设数列的前n项和为，且对任意，都有恒成立，求实数m的取值范围． 15．已知正项数列满足：. (1)设，试证明为等比数列； (2)设，试证明； (3)设，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由. 16．设 是数列 的前项和，已知数列 的通项公式为 (1)是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由； (2)设 ，若存在正整数 ，使得立，求 的取值范围. 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 2．(1) (2) 3．(1)， (2)存在， 4．(1) (2) 5．(1)，； (2). 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 7．(1) (2)证明见解析 8．. 9．(1) (2) 10．(1) (2)证明见解析 11．(1) (2) 12．(1) (2)证明见解析 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析 14．(1) (2) 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 16．(1)不存在，理由见解析； (2). 答案第2页，共4页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列中恒成立问题专练 1．在数列中，是其前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，恒成立，求的取值范围． 解析（1）因为， 当时，，解得； 当时，，所以，所以； 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 又在上单调递减，则在上单调递增， 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以当时取得最大值为，当时取得最小值为， 因为，恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 2．物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．    (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，） 解析（1） ， 在点处的切线方程为：     令，得， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 故 （2） 令     法一：错位相减法 ，        ， 两式相减得：     化简得：     故， 化简得     令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以     从而整数；