立体几何建系练习-2024届高三数学二轮专题复习

立体几何建系练习 一、单选题 1．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 3．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，． (1)求证：； (2)若点为的中点，与相交于点，直线与底面所成的角为，且，求二面角的余弦值． 4．如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点． (1)证明：平面． (2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值． 5．如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H. (1)从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. (2)求直线BD与平面的距离. 6．如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，． (1)求点B到平面的距离； (2)若M为的中点，N为线段上的动点，设异面直线与所成角为，求的最大值及此时的值 7．如图，在中，，，.将绕旋转得到，、分别为线段、的中点：    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 8．如图，在三棱锥中，．    (1)证明：平面平面； (2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值． 9．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，. (1)若O为的中点，证明：； (2)若，，点M满足，求平面与平面所成角的余弦值. 10．如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是． (1)求到平面的距离． (2)线段上是否存在一个点D，使直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在说明理由． 试卷第4页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何建系练习 一、单选题 1．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解析三棱锥的体积与到平面的距离成正比， 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 平面显然有法向量， ， 设为平面的法向量， 则该向量与和均垂直， 所以，从而. 令，解得， 故符合条件， 显然二面角为锐角， 因此所求余弦值为. 故选：D. 二、解答题 2．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 解析（1）证明：取的中点M，连接MP，MB． 在四棱台中，四边形是梯形，，， 又点M，P分别是棱，的中点，所以，且． 在正方形ABCD中，，，又，所以． 从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平面中，作于O． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面． 在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则． 以为正交基底，建立空间直角坐标系． 因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以． 易得，，，，，所以，，．    法1：设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得，取， 另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角的平面角为θ，由题意得． 又，所以， 解得（舍负），因此，． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1． 法2：设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得，取， 另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角的平面角为θ，由题意得． 又，所以， 解得或6（舍），因此． 所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．    3．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，． (1)求证：； (2)若点为的中点，与相交于点，直线与底面所成的角为，且，求二面角的余弦值． 解析（1）证明：设点在底面的射影为点，由得，点为的外心， 又因为底面为菱形，，所以， 所以点与点重合，所以底面，因为底面， 所以．因为底面为菱形，所以， 平面，， 所以平面，因为平面，所以． （2）解：由底面，知即为直线与底面所成的角， 因为且，所以，所以， 由于，所以． 取的中点，连接，以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，可得：， 令，则，所以． 设平面的一个法向量为， 由，可得：， 令，则