题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（六）二次函数中平行四边形的存在性问题-2024年中考数学重难题型研究（山西卷）

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（六） 二次函数中平行四边形的存在性问题 （2019年23题，2014年23题） 1、 题型解读 二次函数中平行四边形的存在性问题属于开放探究题，考查学生的综合探究、几何直观和运算能力，在求解这类综合题时，先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。在求解这类综合题时需要分离图形，排除干扰，明确目标，以便突破思路，注意利用数形结合的数学思想，从数与形不同的角度寻找解题策略。 二、解题策略 1. 解题步骤： 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． （1）如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． （2）如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 类型一、单动点 （1）已知三点求第四点问题，用对角线互相平分及中点坐标公式计算； □ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)， 则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD． 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 例1-1．如图，直线与抛物线交于，两点，连接. （1）求抛物线的表达式. （2）在坐标平面内是否存在点P，使得以点A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. :例1-2．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18 （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求点B的坐标； （3）设C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点A的对应点为.问是否存在点P，使得以，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （2）当图形平行关系已固定： 若固定平行关系是斜向，则作图采用相似三角形比较方便； 若固定平性关系是竖直方向，则采用线段相等解方程比较简便 例1-3.已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点F的坐标． 针对练习1 1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. （1）求点A，点B的坐标； （2）过点B平行x轴的直线交抛物线于点C，求四边形OACB的面积； （3）坐标平面内是否存在点P，使以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2.已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线与轴相交于点，与直线相交于点． (1) 填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2) 如图6，在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？ 图6 图7 3.如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH． （1）抛物线的解析式为 ； （2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由． 类型二、双动点型: 分类讨论：已有的两个点连线作为边和对角线的情况 方法：用对角线互相平分及中点坐标公式计算 例2-1．综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，点D在y轴上，且. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，当时，求四边形的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值； （3）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t，点Q在直线上，若以为边，点C，D，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标. 例2-2．如图，抛物线与x轴负半轴交