1.3.2 基本不等式（第1课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

基本不等式 第1课时 复习引入 如图，是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由四个直角三角形拼合而成，正方形的边长为直角三角形的斜边长． 直角三角形两条直角边为a，b，由面积得到不等式a2＋b2≥2ab，当a＝b时，取“＝”． 2 新知探究 问题1　阅读课本思考：什么是基本不等式？它是怎样得到的？ 基本不等式是将a2＋b2≥2ab中用，代替a，b并变形得到的． 师生活动：学生阅读课本回答，教师总结：基本不等式是将a2＋b2≥2ab中用，代替a，b并变形得到的，并板书：． 3 新知探究 追问：不等式中a，b的范围是什么？它和原不等式中的范围一样吗？ a，b均为非负数，如果a，b中有负数，该不等式不成立． 师生活动：学生自主反思后回答，a，b均为非负数，如果a，b中有负数，该不等式不成立．教师指出基本不等式的定义要求a，b均为正数． 同时总结：我们称其为基本不等式，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数，基本不等式表明两个非负实数的算数平均数大于或等于几何平均数． 设计意图：通过重要不等式得到基本不等式，同时明确两个不等式之间的联系，通过分析其特征，得到基本不等式的代数解释，进一步加深对其的理解． 4 新知探究 问题2　如图，半圆上一点D，DC垂直于直径AB于C，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ A O C B D a b 基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释． 当且仅当弦DC过圆心时，二者相等． 师生活动：如图，连接OD，教师引导学生先寻找图中的不等关系，利用动画，观察从弦DC长和圆的直径AB这两个几何元素在变化中的不等关系，并将此不等关系用符号表示．学生独立思考，并说出思路：半径OD为，利用射影定理可得弦CD为，由CD≤OD，得到．教师评价并总结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释．当且仅当弦DC过圆心时，二者相等． 设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养． 师生活动：学生自主思考并思考，教师给予简单总结． 5 新知探究 例1　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥． 追问：求解的依据什么？怎样应用？ 求解的依据是基本不等式；将问题与公式对比，找到本题和基本不等式的联系． a＞0，b＞0，c＞0由均值不等式 三式相加，得a＋b＋c≥． 6 新知探究 小组讨论 把一段长为16 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表，并思考当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大？ 方案 长/cm 宽/cm 面积/cm? 方案1       方案2       方案3       ……       师生活动：设矩形的长为x cm，宽为y cm，则x＋y＝8． 此时，由基本不等式得，即xy≤16． 又因为当x＝y＝4时，xy＝16（即不等式xy＜16中的等号成立）， 由此可知，边长为4 cm的正方形的面积最大． 7 新知探究 问题4　类比上面的方法，说明：面积为16 cm2的所有不同形状的矩形中，当矩形的长、 宽分别为何值时，周长最小？ 当边长为4 cm时，周长最小． 8 新知探究 例2　已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 ． 用基本不等式解决最值问题有两个基本模型： “两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”； “两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”． 师生活动：学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善． 教师总结：用基本不等式解决最值问题有两个基本模型：或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”． 设计意图：本题是例1的总结和提升，看似简单，但是给出了用基本不等式能够解决的两个数学模型，为用基本不等式解决实际问题创造了条件．提升学生数学模型的思想． 9 初步应用 （3）由图象，无最值． （1）已知x＞0，求x＋ 的最小值； （2）已知x≥2，求x＋ 的最小值； （3）求x＋ 的最小值． （1）x＋ ≥2，当且仅当“x＝ ”，即x＝1时等号成立； （2）y＝x＋ 在[2，＋∞]上单调递増，当x＝2时，ymin＝ ； 师生活动：学生独立完成.教师依据学生的解答或困难，对比例1分析其求解中存在的问题，并用软件展示函数y=的让学生观察. 10 初步应用 在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件． “一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； “二定”就是要求和的最