2.3.2 函数的单调性 （第2课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

函数的单调性 第2课时 导入新课 问题1　增函数和减函数的定义是什么？ 在函数y＝f（x）定义域内的一个区间A上， 如果对于任意的x1，x2∈A， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），就称函数y＝f（x）在区间A上是增函数； 如果都有f（x1）＞f（x2），就称函数y＝f（x）在区间A上是减函数． 师生活动：教师提问，学生思考并回答，教师补充． 设计意图：教师引导学生复习回忆上节课知识，引出本节课的课题． 2 导入新课 追问：如果有两个函数y＝f（x）和y＝g（x），在同一个区间I上都是单增（单减）函数，那么 函数y＝f（x）＋g（x）的具有怎样的单调性？能不能判断函数y＝f（x）－g（x）的单调性呢？ 函数y＝f（x）－g（x）的单调性不确定． 函数y＝f（x）＋g（x）也是单增（单减）函数， 师生活动：教师提问，学生思考并回答，教师补充． 设计意图：教师引导学生复习回忆上节课知识，引出本节课的课题． 3 新知探究 问题2　画出函数f（x）＝－3x＋2的图象，通过图象判断函数在R上的单调性． 1 2 3 4 -1 -1 1 2 3 4 x y O -2 -3 -2 -3 y＝－3x＋2 师生活动：学生独立思考画图，求证，回答． 设计意图：通过画函数f（x）＝－3x＋2的图象，培养学生细心观察图象并进行分析最后严谨论证的良好思维习惯． 4 新知探究 问题3　如何证明f（x）＝－3x＋2在R上单调递减，请给出证明． 画出函数f（x）＝－3x＋2的图象，可以看出函数在R上是减函数； 下面用定义证明这一单调性； 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0， 所以函数f（x）＝－3x＋2在R上是减函数． 1 2 3 4 -1 -1 1 2 3 4 x y O -2 -3 -2 -3 y＝－3x＋2 f（x1）－f（x2）＝（－3x1＋2）－（－3x2＋2） ＝－3（x1－x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2）， 师生活动：教师引导学生分析，根据函数单调性的定义，需要考察当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）还是f（x1）＞f（x2）．根据实数大小关系的基本事实，只要考察f（x1）－f（x2）与0的大小关系．学生尝试写出证明步骤，教师点评总结． 设计意图：使学生从形与数两方面加深理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法，提高学生的推理论证能力． 5 新知探究 问题4　归纳一下用单调性定义证明一个函数在区间I上的单调性的基本步骤吗？ （i）取值：任取x1，x2，且x1＜x2． （ii）作差：f（x1）－f（x2）（对其进行因式分解，要注意变形的程度）． （iii）判断：判断上述差的符号，即得到f（x1）－f（x2）＜0（或f（x1）－f（x2）＞0）． （iv）结论：若f（x1）－f（x2）＜0，则函数在区间D内为增函数； 若f（x1）－f（x2）＞0，则函数在区间D内为减函数． 师生活动：请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤． 设计意图：掌握函数单调性的证明程序，让学生再次体验数学概念如何从直观到抽象，文字到符号，从粗疏到严密，从而让学生感悟数学概念符号化的建构原则． 6 新知探究 问题5　 （1）设函数f（x）＝－ax，证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，＋∞）上是减函数？ （1）设，且， （2）已知a＞0，函数f（x）＝x3－ax是区间[1，＋∞）上的单调函数，求实数a的取值范围？ f（x1）－f（x2）＝ 师生活动：教师引导学生分析参数a对函数单调性的影响，学生完成证明过程． 设计意图：让学生感受解决问题的一般方法：从特殊到一般，从简单到复杂；培养利用分类讨论、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识，从而培养学生逻辑推理的数学核心素养． 7 新知探究 问题5　 （1）设函数f（x）＝－ax，证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，＋∞）上是减函数？ 因为x1＜x2，所以x1－x2＜0， （2）已知a＞0，函数f（x）＝x3－ax是区间[1，＋∞）上的单调函数，求实数a的取值范围？ 所以 所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＜f（x2）． 故函数f（x）在区间[0，＋∞）上是减函数． 师生活动：教师引导学生分析参数a对函数单调性的影响，学生完成证明过程． 设计意图：让学生感受解决问题的一般方法：从特殊到一般，从简单到复杂；培养利用分类讨论、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识，从而培养学生逻辑推理的数学核心素养． 8 新知探究 问题5　 （1）设函数f（x）＝－ax，证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，＋∞）上是减函数？ （2）任取x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞）， （2）已知a＞0，函数f（x）＝x3－a