微专题四 中点问题中的常见模型（精讲本）-2024年湖北新中考复习指南数学

第四章三角形 模型4利用角平分线作对称轴 构遵全等三 角形 模型归纳：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的 M N 平分线，AB>AC.在AB上截取AF=AC,连接 思维导引：过点P作PE⊥OA于点E,点P DF.结论：△ACD≌△AFD 的位置在OE上或在EA上两种情况. 跟陈演练 4.(2022·泰安)如图，∠AOB= 30°，点M,N分别在边OA, OB上，且OM=3,ON=5,0∠ 例4]如图，点P是∠AOB的平分线OC上 点P,Q分别在边OB,OA上，则MP+PQ+ 点，PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一 QN的最小值是 点.已知OM=3,OV=5,点D为OA上一点， A.√34 B.√35 若满足PD=PM,则OD的长度为 C.√34-2 D.√35-2 微专题四 中点问题中的常见模型 模型1遇中点找中点，构造三角形中位线 模型2遇直角三角形斜边的中点，构 模型归纳：在三角形中，如果有中点，可构造三 造斜边中线 角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理 模型归纳：直角三角形中有斜边中点时，常作斜 边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一 得：DE∥BC且DE= 2BC,△ADE∽△ABC, 半，即CD=AD=BD=2AB”来证明线段间的 解决线段之间的相等、比例关系或平行问题. 数量关系，且可以得到两个等腰三角形：△ACD, △BCD,该方法经常会与中位线定理一起综合 取方边中点 应用. 构进巾位线 D 制地白角三角 [例1](2023·云南)如图， 形斜边上的中线 A,B两点被池塘隔开， [例2]如图，在Rt△ABC中， A,B,C三点不共线.设 ∠ACB=90°，点D,E分别是 AC,BC的中点分别为 边AB,AC的中点，延长BC M,V.若MN=3米，则AB= A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 至点F,使CF=BC.若AB 10,则EF的长是 眼踪演练 跟踪演练 1.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,BC 2.如图，在正方形ABCD和正 的中点，BD=12,则EF的长为 方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1,CE=3,点H是 AF的中点，那么CH的长是 65 考复习指南·数学 模型3遇等腰三角形底边上的中点，作中 跟踪演练 线，构造“三线合一” 4.如图，已知在Rt△ABC中，∠C= 模型归纳：等腰三角形中有底边上的中点时，常 90°，点D是AB的中点，过点D作 作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、高 DE⊥AB交BC于点E.若CE= 线、顶角角平分线“三线合一”的性质得到： 3,AC=4,则DE的长为 ∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,BD=CD,解决线 模型5遇三角形的中点或中线，用倍长 段相等、角度之间的相等问题 中线构造全等三角形 模型归纳：当遇到中线或者中点时，可以尝试用 连接AD 倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数 量关系，该方法经常会与中位线定理一起综合 [例3]如图，在△ABC中，AB 应用. AC=5,BC=6,点M为BC 倍长中线AD 的中点，MN⊥AC于点N, B 则MN的长为 跟踪演练 3.如图，D为△ABC 内一点，CD平分 倍长类中线ED ∠ACB,BD⊥CD, ∠A=∠ABD.若 BD=1,BC=3,则AC的长为 [例5]如图，已知AB= A.5 B.4 C.3 D.2 12,AB⊥BC,垂足为 模型4遇边的垂线经过边的中点，联 点B,AB⊥AD,垂足 想“线段的垂直平分线” 为点A,AD=5,BC=10, 模型归纳：遇到边的垂线经过边的中点，常联想 点E是CD的中点，则AE的长为 到线段的垂直平分线，连接线段垂直平分线上 思维导引：延长AE交BC于点F,则可得 的点和线段的端点，根据线段的垂直平分线的 △ADE2△FCE,由勾股定理求得AF,且 性质，得到BE=CE AE=2AF,即可得解。 跟踪演练 5.如图，已知在△ABC中，AD是BC边的中 此模型的作用：(1)证明线段相等或求线段长 线，点F是AD上一点，延长BF交AC于点 (周长)：(2)构造角相等进行等量代换 E,且AE=EF.求证：BF=AC. 例4]如图，在△ABC中， AB的垂直平分线EF 交BC于点E,交AB于 点F,点D为线段CE 的中点，BE=AC.若∠BAC=75°，则∠B 的度数为 66,∠D=∠B,.∠EAD=∠D ,CD平分∠ACB,∴.∠BCE=∠FCE .BE∥CD,∴.∠E=∠ECD. I∠BCE=∠FCE, (2)等边三角形 在△BEC和△FEC中，CE=CE, 微专题三角平分线的常见模型 ∠BEC=∠FEC, .△BEC≌△FEC(ASA). [例1]1[例2]2例3]2-1 [例4]3或7解：过点P作PE⊥OA于点E,,点P ∴BE=FE-BE 是∠AO