北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期阶段性诊断（3月）数学试卷

高一数学 1 / 2 陈经纶中学 2023-2024学年高一(下)数学阶段性诊断 （考试时间 60分钟 满分 100分） 2024. 3 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 已知复数    2 i 1 iz    ， i为虚数单位，则复数 z的虚部为 A． i B． i C．1 D． 1 2. 已知向量 a = (2，8)，b = (﹣4，2)．若 c = 2a﹣b，则向量 c = A．（0，14） B．（8，14） C．（12，12） D．（﹣4，20） 3.在△ABC中，若 A=105°，B = 45°，b = 2，则 c = A．1 B． 3 C．2 D． 6 4. 如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB = 8，AD = 5， 3 2,CP PD AP BP       ， ，则    AB AD的值是 A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 5. 在△ABC中，若 2 0      AB BC AB ，则△ABC的形状一定是 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知向量 ,a b 是两个单位向量，则“a b与 的夹角为锐角”是“ 2a b  ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7. 已知 ,a b 是两个夹角为 3  的单位向量，则 |kb﹣a| 的最小值为 A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 2 8. 在 ABC△ 中， 4 2AB AC  ，当 R时， | |AB BC   的最小值为 4．若 AM MB   ， 2 2sin cosAP AB AC      ，其中 π π[ , ] 6 3   ，则 | |MP  的最大值为 A． 2 B. 4 C． 2 5 D. 4 2 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 9. 已知复数 z满足 (1 ) 1 3i z i   ，则 | |z  . 10. 已知向量 , ,a b c 在坐标纸中的位置如图所示，若每个小方格的边长 为 1，则 ( )  a b c ________；  a b ________． 高一数学 2 / 2 11. 已知两灯塔 A和 B与海洋观测站 C的距离都为 100km，灯塔 A在观测站 C的北偏东 20° 方向上，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40°方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 _________km． 12. 在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则 sin 2 sin A C = ． 13. 已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a＝4，b＝ 4 3， 30A  ，则该三 角形的面积等于 ． 14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题， 分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三 斜求积”中提出了已知三角形三边 a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价， 其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余 四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 2 2 2 2 2 21[ ( ) ] 4 2 c a bS c a    .现有 ABC 满足 sin : sin : sin 2 : 3 : 7A B C  ，且 ABC 的面积 ABC 3 3 2 S △ . 给出下列四个结论： ① ABC 周长为5 7 ② ABC 三个内角 A，C，B满足关系 2A B C  ③ ABC 外接圆半径为 2 21 3 ④ ABC 中线 CD的长为 19 2 其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题共 2小题，共 30分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. （本小题 15分） 在平面四边形 ABCD中，AB BC ， 3 3AB  ， 3CD  ， 3 3sin 14 DBC  ， 3 C   . （Ⅰ）求 sin BDC 的值； （Ⅱ）求 BD， AD的值. 16. （本小题 15分） 已知锐角 ABC△ ，同时满足下列四个条件中的三个： 1 3 A p= ② 13a = ③ 15c = ④ 1sin 3 C = ( 1 )请指出这三个条件，并说明理由；( 2 )求 ABC△