精品解析：四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题

凉山州2024届高中毕业班第二次诊断性检测 数学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则在的展开式中，的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线在处的切线与圆C：交于A，B两点，则为（ ） A. B. C. D. 9. 若实数x，y满足不等式，则的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 11. 若，，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 已知点是曲线上任意一点，则最大值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设等差数列的前n项和为，若，，则______． 14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______． 15. 如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD中点，且，，，则平行四边形的面积为______． 16. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．点A在C上，点B在y轴．，，则C的渐近线方程为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17. 设等比数列的前n项和为，，． （1）求； （2）设，求数列的前n项和． 18. 常言道：文史不分家，其实数学与物理也不分家．“近代物理学之父”——牛顿大约在1671年，完成了《流数法和无穷级数》这部书，标志着微积分的正式创立．某学校课题小组针对“高中学生物理学习成绩与数学学习成绩的关系”进行了一系列的研究，得到了高中学生两学科的成绩具有线性相关的结论．现从该校随机抽取6名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表（单位：分） 物理成绩x 63 68 74 76 85 90 数学成绩y 90 95 110 110 125 130 （1）经过计算，得到学生物理学习成绩x与数学学习成绩y满足回归方程．若某位学生的物理成绩为95分，请预测他的数学成绩； （2）若要从抽取这6名学生中随机选出3名学生参加一项问卷调查，记数学成绩不低于100分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 20. 古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到：椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知是椭圆C：的左焦点，且椭圆C的面积为，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点，，以为直径的圆与椭圆C在x轴上方交于M，N两点，求的值 21. 已知函数． （1）若函数在R上是增函数，求a的取值范围； （2）设，若，证明：． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（t为参数）