第八章 立体几何初步 章末题型归纳总结-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图 经典题型二：外接球、内切球、棱切球 经典题型三：空间中的平行关系 经典题型四：空间中的垂直关系 经典题型五：空间角的求法（线线角、线面角、二面角） 经典题型六：空间距离的求法（线线距、线面距、点面距、面面距） 经典题型七：截面问题以及范围与最值问题 模块三：数学思想与方法 1 分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图 例1．（2024·高三·河南·专题练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸 例2．（2024·广东湛江·一模）中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·高一·河北保定·开学考试）已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（    ） A．6 B． C． D． 例4．（2024·高三·陕西宝鸡·阶段练习）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·陕西安康·模拟预测）侧棱长与底面边长均为的正三棱柱的外接球的表面积为，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 例6．（2024·高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 例7．（2024·高二·上海·期中）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   例8．（2024·高二·四川内江·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（    ）    A．6 B． C．12 D．24 例9．（2024·高二·四川南充·期中）水平放置的的直观图如图所示，是中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（    ）    A．最短的是AD B．最短的是AC C． D． 经典题型二：外接球、内切球、棱切球 例10．（2024·高三·河南周口·期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 例11．（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ．    例12．（2024·高三·广东深圳·期末）已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 例13．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，在棱上运动，当二面角为直二面角时，四面体的外接球表面积为 ．    例14．（2024·高二·福建漳州·期中）在三棱锥中，已知是边长为的正三角形，平面，、分别是、的中点，若异面直线、所成角的余弦值为，则的长为 ，三棱锥的外接球表面积为 ． 例15．（2024·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 上、下底面的中心分别为，， 设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r， 所以， ，同理． 因为内切球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得． 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则棱台的高， 所以棱台的体积为． 故答案为：. 例16．（2024·高三·江苏·期末）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为，且，则它的内切球的体积的最大值为 . 例17．（2024·全国·模拟预测）已知球是底面半径为4、高为的圆锥的内切球，若球内有一个内接正三棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，正三棱柱的体积为 ． 例18．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与