精品解析：北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习（一）数学试题

北京市丰台区2023~2024学年度第二学期综合练习（一） 高三数学 2024．03 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知公差为的等差数列满足：，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线（）的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在二项式的展开式中，的系数为（　　） A. ﹣80 B. ﹣40 C. 40 D. 80 5. 已知向量，满足，，且，则( ) A. B. C. 2 D. 4 6. 按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为： ①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为； ②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）． 某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得弦长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论： ①棱长为； ②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°； ③表面积为； ④外接球的体积为． 其中所有正确结论序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 10. 已知数列满足则（ ） A. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，对于任意正整数，存在，使得 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 计算_______. 12. 在中，若，，，则________. 13. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为__________． 14 已知函数具有下列性质： ①当时，都有； ②在区间上，单调递增； ③是偶函数． 则________；函数可能的一个解析式为_________． 15. 目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为， 其中． 注：表示人造天体质量，表示第（）级火箭结构和燃料的总质量． 给出下列三个结论： ①； ②当时，； ③当时，若，则． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在直三棱柱中，，为中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知函数()． （1）若，求的值； （2）若在区间上单调递减，，求的值． 18. 某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示． 疱疹面积（单位：） 第1组（只） 3 4 1 2 0 第2组（只） 1 3 2 3 1 （1）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率； （2）从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望； （3）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），