2024年复旦大学数学英才班选拔考试试题

2024年复旦大学数学英才班选拔考试试题 1.用a.b分别表示73641257364125和73641250在8进制下的数，则用a除以b的商与余数之和为 2.一艘观光船顺流而下，由A向B行驶，A、B之何有货船按时发动，其中每过40分钟有一辆货船追上 观光船，每过20分钟有一钙货船迎面而米，其中货船速度为水速的7倍，则货船发船的时间间隔为 3.一个圆周上分布有2024个点记为4,4，，4，其象征2024个不同的数，记m为444的中位 数，其下标为模2024意义下，已知m+m+…+m4=l,其中4，A,…A@,则m+m+…+me 的取值范围是 4.某次考试一共有7道判断题，有三人参加考试，且三个人均回答正确五道题回答错误两道，回答情况如 下图所示，则正确答案为 1234567 一T FTT FF F 二FT FTFTT 三TFFFFT F 5.三角形的三边各不相同，其中边BC最短.在AB,AC上分别取BM=CN=BC,R和r分别表示△ABC 外接圆半径和内切圆半径，则C的值为 BC ·(用Rr表示) 6.记=3+41在复平面上表示的点为A,,在复平面上表示的点为B,若-5+号=0，+2所表 示的点为C,则凸四边形OABC的面积为 7起1-三，种人问-8近)+，其中和的为与无关与有关静 多项式，则g(x)= ,h(x)= 已阳a号周ow aowa:号}om(e号随先 4 9.类似于中国象棋中的马走日字型，在无限长的方格中可以进行下列两种操作(mn为正整数)： (1》横向走m个方格，纵向走n个方格 (2)横向走n个方格，纵向走m个方格。 若这个棋子可遍历所有方格。则m,n所需满足的条件为？ 10.带余除法之下，a2+b除以a+b得商和余数分别为g和r,已知g+r=2005,求ab的最小值. (a,b,9,r均为正整数). 1L.个木板如图放置，每个木板的长度均为1，问在不翻倒的前提之下， 了第块 第n快木板离第一块木板左端臣离的最大值为多少？ 门第2块 第1块 2024年复旦大学数学英才班选拔考试试题参考答案 1用a,b分别表示73641257364125和73641250在8进制下的数，则用a除以b的商与 余数之和是▲一 解：设m=7364125,我们统一先用十进制进行表示，则a=(10+1)m,b=10m,因此 a=b10+m,即商是10，余数是m,共和是8364125，若用入进制表示则是(37720135) 2一艘观光船顺流而下，自A向B行驶，A,B之间有货船按时发动，其中每过40分钟有一辆 货船追上观光船，每过20分钟有一辆货船迎面而来其中货船速度为水速的7倍，则货船发船 的时间间隔是▲一 解：设货船的发船间隔时间是m分钟，观光船的速度为xm/min,水速是ym/min,划货船的 速度为7ym/min,则在顺流而下时，相邻两毅货船的距离是8y,国此 8y一=40.同 8y-(x+v) 6nv 理当逆流而上时，相邹两笈货船的距离是6y,四此 =20.解得m=28 6y+(x+y) 3一个圆周上分布有2024个点，记为A,A,A24,其象征着2024个不同的数.记m,表示 A,4,41的中位数，其下标为模2024意义下的余数.已知m+m+…+m4=1,则 m1+m2++m24的取值范国是▲ 解：由Ca1Cy不等式可得(m+m吃++m20+1+)2(m,+m2+…+m4)2,但由 于A,A1…424两两不等，因此m1+m2+…+m024∈(-2√506,2506 4某次考试共有7个判断题，有三人参加考试他们均正确回答了五道题，有两道题回答错误 回答情况如下表所示则试题的正确答案是▲ 2 3 4 5 6 7 T T F F F T T F T F T T F 解：注意到三个人票计错了6题次，但从每个题来看，除了第5题之外，每个题均为1~2个人 答错，第5题为三个人全部答对或全部答错：分析可知只可能是第5题全部答对，其余各题均 为1人答错，因此正确答策是TFFTFTF, 5△ABC的三边长各不相同，其中BC最短，在AB,AC上分别选取BM=CN=BC,用R 和r分别表示AMBC的外接圆半径和内切圆半径，则 (用R,P表示) BC 解：我们先来证明如下引理： 引理：在△4BC中，O是外心，I是内心，R是外接圆半 径，r是内切圆半径，则O2=R2-2R 证明：延长A!交外接圖于点F,连接FO并延长交外接圈 于点H,连接BH,作1G⊥AB于点G,延长OI分别交外接 国于点M,N.光时有AMG1~△HBF,因此=F ,由鸡 GI BF 爪定理可知BF=F,图此AIF=G·HF=2r 另一方面，由相交线定理可知 2Rr=AI.IF =MI.IN =(OM+O1(ON-OD)=OM2-012=R2-O12 从而引理得证，回到原题， 延长BI并延长