精品解析：上海市上海师范大学附属宝山罗店中学2023-2024学年高二下学期第一次诊断性测试（3月）数学试卷

2023学年第二学期高二年级第一次诊断性测试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 若排列数，则________ 2. 7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有__________种排法. 3. 设直线与圆相交所得弦长为，则______； 4. 的二项展开式中，项的系数为__________． 5. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 6. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则__________． 7. 若b，c，a成等差数列，则直线通过点________． 8. 从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则__________． 9. 有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念．若从这6人中随机选取2人拍双人照，则选中2人恰为1男1女的概率是__________． 10. 某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有__________种（用数字作答）． 11. 已知无穷数列满足，且，则________. 12. 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 14. 已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 如果、分别是A、B的对立事件，下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题： ①若数列“梦想数列”，则常数； ②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”； ③“梦想数列”一定是等差数列. 以上3个命题中真命题的个数是（ ）个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． （1）从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； （2）从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 18. 已知各项均为正数的数列，其前项和为，． （1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式； （2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 19. 已知抛物线，直线交抛物线于点，交抛物线于点，其中点位于第一象限． （1）若点到抛物线焦点距离为2，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离. 20. 已知、分别是正方体的棱、的中点，求： （1）与所成角的大小； （2）二面角的大小； （3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由. 21. 椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点． （1）求椭圆离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期高二年级第一次诊断性测试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 若排列数，则________ 【答案】3 【解析】 【详解】 由，所以，解得. 2. 7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有__________种排法. 【答案】240 【解析】 【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可. 【详解】先排甲和乙，有种排法， 再排其他5人，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种排法. 故答案为：240 3. 设直线与圆相交所得弦长为，则______； 【答案】 【解析】 【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线，即的距离， 由圆的弦长公式，即，得， 所以，解得， 经检验，满足题意，所以. 故答案为：. 4. 的二项展开式中，项的系数为__________． 【答案】210 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为2，求出，代入通项公式中可求得