第15讲 圆锥曲线的方程与性质（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第15讲　圆锥曲线的方程与性质（3大考点+强化训练） [考情分析]　高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题． 知识导图 考点分类讲解 考点一:圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” “定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 易错提醒　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置． 【例1】　（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为为椭圆上异于的任意一点，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三上·天津和平·期末）已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点二：椭圆、双曲线的几何性质 1．求离心率通常有两种方法 (1)求出a，c，代入公式e＝. (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． 考向1　椭圆、双曲线的几何性质 【例2】（2024·山东聊城·一模）设，是双曲线的左、右焦点，是上的一点，若的一条渐近线的倾斜角为，且，则的焦距等于（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ． 【变式2】（23-24高三上·重庆·期末）已知，分别是双曲线C：（）的左、右焦点，过作一直线交C于M，N两点，若，且的周长为1．则C的焦距为 ． 【变式3】2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 考向2　离心率问题 【例3】（2024·全国·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖北·二模）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·陕西西安·二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．3 考点三：抛物线的几何性质及应用 抛物线的焦点弦的几个常见结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)|AB|＝x1＋x2＋p. (3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p. 规律方法　利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算． 【例4】（22-23高三下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时， ． 【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）抛物线过点，则焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三下·北