微重点09 截面、交线问题（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

微重点09　截面、交线问题（3大考点+强化训练） “截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解． 知识导图 考点分类讲解 考点一：截面问题 规律方法　作几何体截面的方法 (1)利用平行直线找截面． (2)利用相交直线找截面． 考向1　多面体中的截面问题 【例1】（2024·四川·模拟预测）设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为 边形．    【变式2】（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为 . 【变式3】(多选）（2023·河北承德·模拟预测）如图，正六棱柱的各棱长均为1，下列选项正确的有（   ） A．过A，，三点的平面截该六棱柱的截面面积为 B．过A，，三点的平面将该六棱柱分割成体积相等的两部分 C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为 D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为 考向2　球的截面问题 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，若将沿BD翻折到的位置，使得二面角为，N为的四等分点靠近D点，已知点，B，C，D都在球O的表面上，过N作球O的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 考点二　交线问题 规律方法　找交线的方法 (1)线面交点法：各棱线与截平面的交点． (2)面面交点法：各棱面与截平面的交线． 考向1　多面体中的交线问题 【例3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【变式1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面满足，若直线AC到平面的距离与BC1到平面的距离相等，平面与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2】（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（    ） A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B．该“十字贯穿体”的表面积是 C．该“十字贯穿体”的体积是 D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 【变式3】（多选）（23-24高三上·湖北·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（    ） A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形 B．当时，三棱锥体积为 C．当时，三棱锥的外接球表面积为 D．当时，直线与平面所成的角的正弦值为 考向2　与球有关的交线问题 【例4】（2024·陕西商洛·模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，平面与球的交线长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱锥中，两两垂直，且，以为球心，为半径作球，则球面与底面的交线长度的和为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23高三上·河北保定·期末）已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高三上·辽宁·开学考试）若平面与一个球只有一个交点，则称该平面为球的切平面．过球面上一点恒能作出唯一的切平面，且该点处的半径与切平面垂直．已知在空间直角坐标系中，球O的半径为1．