微重点08 立体几何中的动态问题（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

微重点08　立体几何中的动态问题（3大考点+强化训练） “动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化． 知识导图 考点分类讲解 考点一：动点轨迹问题 规律方法　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（    ）    A．三角形（含内部） B．矩形（含内部） C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分 【变式1】（多选）（23-24高三上·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（    ）      A．点E、F、G、H共面 B．的最小值为 C．点B到平面的距离为 D． 【变式2】（2023·贵州·一模）如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为 ． 【变式3】(2023·宁波联考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有(　　) A．若λ＋μ＝1，则A1P⊥AD1 B．若λ＋μ＝1，则三棱锥A1－PDC1的体积为定值 C．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线 D．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个面积为π的圆 考点二：折叠、展开问题 规律方法　画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系． 【例2】（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高三上·浙江·开学考试）如图，矩形中，，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（    ） A．平面 B．点在某个圆上运动 C．存在某个位置，使 D．线段的长的取值范围是 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图1，在等边中，点分别为边上的动点且满足，记.将沿DE翻折到的位置，使得平面平面DECB，连接MB，MC，如图2，N为MC的中点． (1)当平面MBD时，求的值． (2)随着的值的变化，二面角的大小是否改变？若是，请说明理由；若不是，请求出二面角的正弦值． 【变式3】(2023·邵阳模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，AF⊥平面ABCD，且AF＝3，点E为线段CD(除端点外)上的动点，沿直线AE将△DAE翻折到△D′AE，则下列说法中正确的是(　　) A．当点E固定在线段CD的某位置时，点D′的运动轨迹为球面 B．存在点E，使AB⊥平面D′AE C．点A到平面BCF的距离为 D．异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是 考点三：最值、范围问题 规律方法　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是 (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值． 【例3】(多选)(2023·鞍山模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．四面体PA1D1A的体积为定值 B．AP＋PC的最小值为2 C．A1P∥平面ACD1 D．直线A1P与AC所成的角的取值范围是 【变式1】(2023·青岛模拟)三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据．三面角P－ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A－PC－B为θ，由三面角余弦定理得cos θ＝.在三棱锥P－ABC中，PA＝6