第14讲 直线与圆（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第14讲　直线与圆（3大考点+强化训练） [考情分析]　1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度． 知识导图 考点分类讲解 考点一:直线的方程 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝. 3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝. 易错提醒　解决直线方程问题的三个注意点 (1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意直线方程每种形式的局限性． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在． 【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线平行的直线方程为 . 考点二:圆的方程 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆． 规律方法　解决圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 考点三:直线、圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离． 其判断方法为： (1)点线距离法． (2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组 消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离． 考向1　直线与圆的位置关系 规律方法　直线与圆相切问题的解题策略 当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算． 【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． E．均不是 【变式3】（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则 ． 考向2　圆与圆的位置关系 【例3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广西来宾·一模）若曲线与的图象有3个交点，则 . 【变式3】（2023·河北衡水·三模）若圆和有且仅有一条公切线，则 ；此公切线的方程为 【变式4】（2024·广东深圳·模