专题06 特殊四边形性质判定、旋转、新定义之四大题型-【中考冲刺】2024年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（江西专用）

专题06 特殊四边形性质判定、旋转、新定义之四大题型 目录 【题型一 特殊平行四边形的性质和判定综合问题】 1 【题型二 三角形、四边形中的中位线综合问题】 11 【题型三 特殊平行四边形中的旋转综合问题】 21 【题型四 几何图形中的新定义型的综合问题】 33 【典型例题】 【题型一 特殊平行四边形的性质和判定综合问题】 例题：（2023·江西·中考真题）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【变式训练】 1．（2023·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程： 问题提出：如图，正方形中，，为对角线上的一个动点，以为直角顶点，向右作等腰直角． (1)操作发现：的最小值为_______，最大值为_______； (2)数学思考：求证：点在射线上； (3)拓展应用：当时，求的长． 2．（2023·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证． 【类比探究】 (2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值． 【拓展延伸】 (3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值． 3．（2023·江西吉安·一模）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程： 问题提出 如图，在正方形中，P为对角线上一点，连接，将绕点P逆时针旋转，得到，连接． (1)操作发现 当时，的度数为 ； (2)数学思考 当时，连接，求证：为直角三角形； (3)拓展应用 若正方形的边长为4，直接写出的最大值． 【题型二 三角形、四边形中的中位线综合问题】 例题：（2023·江西抚州·三模）（1）课本再现：我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在中，点D，E分别是，的中点，连接．则与的关系是______．    （2）定理证明：请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． （3）定理应用：如图（2），在四边形中，点M，N，P分别为，，的中点，，的延长线交于点E．若，则的度数是______．    （4）如图（3），在矩形中，，，点E在边上，且．将线段绕点A旋转一定的角度（），得到线段，点M是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．    【变式训练】 1．（2023·江西赣州·一模）综合与实践 老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，和都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边，上，连接，点M，P，N分别为，，的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 甲小组发现：．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：    【片段1】∵点P，M分别是，的中点， ∴．（理由1） 【片段2】∵，∴．（理由2） 反思交流 (1)①填空：理由1： ；理由2： ； ②图1中，与的位置关系是 ． (2)乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断的形状并证明； (3)丙小组的同学继续探究：把绕点C在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值． 2．（2023·江西景德镇·二模）课本再现 （1）如图1，在证明“三角形两边中点的连线与第三边的关系”时，小明将沿中位线裁剪后，把绕点旋转180°得到四边形，则四边形的形状是______． 类比迁移 （2）在四边形中，为的中点，点、分别在、上，连接、、，且． ①如图2，若四边形是正方形，、、之间的数量关系为________； ②如图3，若四边形是平行四边形，①中的结论是否成立，请说明理由； 方法运用 （3）图4，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． 【题型三 特殊平行四边形中的旋转综合问题】 例题：（2023·江西南昌·一模）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是____