专题10 点线式秒杀函数压轴题二：特殊三角形的存在性（等腰、直角、等腰直角）-2024中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题10点线式秒杀函数压轴题二：特殊三角形的存在性 （等腰、直角、等腰直角） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点精讲 二次函数与特殊图形的存在性的融合，是中考数学的压轴大题的重要分支之一，图形的存在性，也有专门的套路，只要用好点线式，存在性问题即可秒解。 函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。 点：（即所用到的点的坐标）， 线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。 式：分情况列出函数关系式或方程。 等腰三角形的存在性： 1.先确定三点坐标 2.求出三边长度。 3.两两相等得方程。 直角三角形的存在性： 1.先确定三点坐标 2.求出三边长度。 3.利用勾股，分情况列方程。 等腰直角三角形的存在性： 法一：选利用等腰三角形的存在性，确定为等腰三角形，再用勾股定理难是否为直角三角形。 法二：可以先画出确定直角，画出基础图形，再利用等腰三角形的存在性来证明是等腰三角形。 本专题需要用的黄金公式：距离三大公式。 黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差） 黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差） 黄金公式三：万能距离，勾股定理。 典 例 引 领 1．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 【解析】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （2）解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，    ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，，   ； 综上所述：存在，的坐标为或． 2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 【解析】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为， ∴， 解得或， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 点的坐标为，点的坐标为， 此时，，， ，则不是以为腰的等腰直角三角形， ∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形． 实战训练 一、经典压轴题型：等腰直角三角形的存在性。 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中 ，连接，．点是线段上一动点（不与、两点重合），过点作x轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点．    (1)求抛物线的表达式，及直线的表达式； (2)过点作，垂足为，求周长的最大值； (3)点在轴上，点在抛物线对称轴上，是否存在点、使得为等腰直角三角形，且，若存在，求出点、的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在矩形中，点是边上任意一点（点不与、重合），连接，作，交于点，若，．    (1)试证明：； (2)当为多少时，最长，最长是多少？ (3)试探究，是否存在一点，使是等腰直角三角形？ 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B． (1)求这个二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点为轴上一点，点关于直线的对称点为． 当点刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点的坐标． 点在抛物线上（点不与点、点重合），连接，，，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，函数的图象过