专题07 最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）-2024中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 模型背景 【模型来历】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【考点】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系； 轴对称 ；平行四边形--平移； 【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直 【核心思想】 共线与垂线段最短。 模型精讲 一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。 例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 图1-2 图1-1 【证明】图1-2。 PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。 【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 。 作法：图1-4 1.作A关于直线CD对称点A’。 2.连A’B。 3.交点P就是要求点。连线长A’B就是PA+PB最小值。 【证明】：图1-5 在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 图1-5 图1-3 图1-4 二、造桥选址，移花接木。 例2-1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定 点，（直线AB不与a垂直） 要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。 作法：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线b于点 Q，过点Q作PQ⊥b，交直线a于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小。 证明（图2-1）：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小。 图2-1 图2-1 【变式1】例2-2已知：如图2-3，定点A、B分布于直线b两侧，长度为a (a为定值)的线段PQ在b上移动（P在Q左边）。 要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小 图2-3 图2-4 分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型。 【作法】如图2-4，将点A沿着平行于b的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线b于点Q，在b上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a。 【证明】易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB 最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小。 【变式2】已知：如图2-5，定点A、B分布于直线b的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在b上移动（P在Q左边）。 要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小。 【作法】图2-6：作A点关于b的对称点A´，将点A´沿着平行于b的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B交b于Q，在b上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A´´B+AB+PQ，即A´´B+AB+a。图2-5 图2-6 三、两动一定型：两动点到一定点的距离和最短。（三角形周长最短。） 例3-1. 图3-1.在∠AOB的内部有一点P，在OA上找一点E，在OB上找一点F，使得△PEF周长最短． 作法：如图3-2： 1. 作点P关于OA的对称点P’，作点P关于OB的对称点P’’ 。 1. 连接P’ P’’，与OA交于点E，与OB交于点F，连接PE，PF，△PEF即为所求． 【证明】：由轴对称的性质知PE=P’E，PF=P’’F，△PEF的周长PE+EF+PF=P’’E+EF+P’’F，当P’、E、F、P’’四点共线时，其值最小. 图3-2 图3-1