专题06 最值必会模型之阿氏圆精讲练-2024中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题06最值必会模型之阿氏圆精讲练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考 点 精 讲 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。 1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理; 2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。 点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 模型建立： PA+kPB的最小值。 阿氏圆钥匙： 构造母子三角形相似 阿氏圆口诀： 两定一动阿氏圆，母子相似很简单。 第一步：确动点的运动轨迹（圆）， 以点0为圆心、r为半径画圆； （若圆已经画出则可省略这一步） 第二步：连接动点至圆心0 （将系数不为1的线段的固定端点 与圆心相连接），即连接OP,OB。 第三步：计算这两条线段长度的比k; 第四步：在0B上取点C,使得OC= k∙OP ; =k, ∠O= ∠O， 可得△ POC ∽ △ BOP 可得： =k, PC=k ∙PB 第五步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。 ［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］ 典例 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是　　． 思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出，推出PTPB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题． 答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴△PAT∽△BAP， ∴， ∴PTPB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT， ∴PB+PC， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． 实战训练 一、填空题 1．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 3．如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ． 4．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为 ． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ． 6．如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是 ． 7．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    二、解答题 9．问题提出：如图，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 10．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值． 11．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD （1）求证：△BDC≌△AFC （2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值； （3）直接写出正方形CDEF旋转过程