2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（五）二次函数中等腰直角三角形的存在性问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（五） 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 1、 题型解读 二次函数中的开放探究题，考查学生的综合探究能力，几何直观、数学运算能力，在综合探究过程中，培养学生严谨的逻辑思维和分类讨论思想，其中等腰直角三角形存在性问题频频出现，其图形复杂，不确定因素较多，解题有一定的难度．因此对此类问题建立解题模型，则可以大大降低学生思维难度。 二、解题策略 1. 涉及知识点 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。 2. 基本题型 （1） 一定两动型探索等腰直角三角形问题； （2） 三动型探索等腰直角三角形问题 3. 解题思路 (1) 分类 不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。 （2）构造K型全等三角形 （3）列方程求解 类型一、一定两动型探索等腰直角三角形问题； 例1-1．如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标. 例1-2．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，. 备用图 （1）求抛物线的解析式； （2）若连接、.动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒.在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 针对练习1 1．如图①，已知抛物线的图象经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点. 图① 图② (1)求拋物线的关系式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当面积最大时，求出P点坐标; (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界)，求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由. 2．抛物线()与y轴相交于点,且抛物线的对称轴为,为对称轴与轴的交点. （1）求抛物线的解析式; （2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于E,F两点,若是等腰直角三角形,求的面积; （3）若是对称轴上一定点,Q是抛物线上的动点,求PQ的最小值(用含t的代数式表示). 3.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 类型二、三动型探索等腰直角三角形问题 例2-1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、.动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒. （1）求二次函数的解析式. （2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 例2-2．已知:如图,抛物线与坐标轴分别交于点,,,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. （1）求抛物线的解析式; （2）当点P运动到什么位置时,的面积有最大值? （3）过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 针对练习2 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，