立体几何专题之截面问题- 2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

立体几何专题之截面问题 1 截面的定义及作法 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. 2 作截面的主要根据 (1) 确定平面的条件. (2) 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线. (3) 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (4) 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. (5) 如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行. 3 作截面的主要方法 (1)相交法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线. (2)作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. (3)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 【题型1】 如何确定整个截面 【典题1】 如下图，在长方体中， 分别是棱、的中点，做出过三 点的截面.(熟悉后可把改为任意等分点均可) 【典题2】如图，正方体中，在两条棱上，在底面内，求过的截面. 【巩固练习】 1.(★★)如图，在正方体中，是棱的中点，则过三点的截面过( ) A. 中点 B. BC中点 C. 中点 D. B中点 2.(★★) P、Q、R三点分别在直四棱柱的棱 上，试画出过三点的截面 3.(★★★)P、Q、R三点分别在直四棱柱的棱上，试画出过三点的截面. 【题型2】 判断截面的形状 【典题1】 （多选）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则( ) A.所得的截面可以是五边形 B.所得的截面可以是六边形 C. 该截面的面积可以为 D.所得的截面可以是菱形 【巩固练习】 1.(★★) 设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面 A.不存在 B. 只有1 个 C. 恰有4 个 D. 有无数多个 2.(★★) 如图，在正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面图形为( ) A. 矩形 B.三角形 C. 正方形 D. 等腰梯形 3.(★★)在正方体中，分别是棱上的点， ，那么正方体过点的截面图形是( ) A.三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 4.(★★★)已知正方体的棱长为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是( ) A. B. C. D. 【题型3】 求截面的周长 【典题1】 正三棱柱中，所有棱长均为2 ，点分别为棱的中点，若过点作一截面，则截面的周长为 . 【巩固练习】 1.(★★) 如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的四等分点(靠近点 )，过点作该正方体的截面，则该截面的周长是 . 2.(★★★) 如图，正方体的棱长为2 ，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为 A. B. C. D. 3.(★★★)已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为( ) A. 6 B. C. D. 4.(★★★)已知直三棱柱的侧棱长为，过的中点作平面与平面垂直，则所得截面周长为 . 【题型4】 求截面的面积 【典题1】 如图，在长方体中，分别为的中点，点在平面内，若直线 平面，则与满足题意的 构成的平面截正方体的截面面积为 . A. B. C. D. 【典题2】如图，已知四面体中，分别是的中点. 若用一个与直线 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( ) A. 1 B. C. 2 D. 【巩固练习】 1.(★★) 正方体的棱长为分别是的中点，则平面截