大题强化及变式训练（17）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（17） 1．记的内角的对边分别为，已知. （1）证明：； （2）若，求的周长. 变式：已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的周长的取值范围. 2．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 变式：如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 3．已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (1)当时，求的极大值点和极小值点； (2)若在上的最大值为1，求的值. 变式：已知函数 （1）求的单调区间及最值 （2）令，若在区间上存在极值点，求实数的取值范围. 4．在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上顶点作两条动直线分别与交于另外两点.当时，. （1）求的值； （2）若，求和的值. 变式：已知椭圆离心率为，椭圆上的点到焦点的最远距离是. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆上有四个动点，，，，且与相交于点. ①若点的坐标为，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，求的斜率; ②若直线与的斜率均为时，求直线的斜率. 5．某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求． （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，． （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率． 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 变式：某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． （1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； （2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（17） 1．记的内角的对边分别为，已知. （1）证明：； （2）若，求的周长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证； （2）利用倍角公式求得，然后利用正弦定理可得 【解析】（1） 因为 或（舍），. （2）由，结合（1）知，则，得 ， ， ， 由正弦定理得 的周长为. 变式：已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的周长的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式和正弦定理即可；（2）根据正弦定理得，从而化边为角， 结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围. 【解析】（1）由已知得，， 则根据正弦定理得， ， 为锐角三角形，． （2）由正弦定理得，即， 则， 因为，解得，得， 所以，得． 2．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接,则有平面平面，可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可. 【解析】（1）连接. 因为，且， 又分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）四边形均为正方形，所以，所以平面. 因为，所以平面，从而. 又，所以为等边三角形. 因为是棱的中点，所以，即两两垂直. 以为原点，所在