第13讲 空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第13讲 空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练） [考情分析]　1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上． 知识导图 考点分类讲解 考点一：空间距离 (1)点到直线的距离 直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设＝a，则点P到直线l的距离d＝. (2)点到平面的距离 平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝. 考向1　点到直线的距离 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 ． 【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 考向2　点到平面的距离 规律方法　(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法． (2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离． 【例2】2.(2023·湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为4，∠A1AB＝60°，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O. (1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由； (2)求点A1到平面BCC1B1的距离． 【变式1】（23-24高三下·北京·开学考试）在正四棱锥中，，与平面所成角为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ）. A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为 ． 考点二：空间中的探究性问题 与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断． 规律方法　解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立． (2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用． 【例3】(2023·咸阳模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点． (1)求证：平面GBC⊥平面BB1C1C； (2)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角P－GB1－B的平面角为30°？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥中，已知，，，，，是线段上的点． (1)求证：底面； (2)是否存在点使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面． (1)求平面与平面所成角的余弦值； (2)在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 【变式3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体中，四边形为菱形，平面，，，，. (1)证明：平面平面； (2)试问线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请判断点的位置；若不存在，请说明理由. 强化训练 一、单选题 1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）平面的一个法向量为，为内的一点，则点到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（2023高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（