第10讲 空间几何体（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第10讲　空间几何体（3大考点+强化训练） [考情分析]　空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上． 知识导图 考点分类讲解 考点一：空间几何体的折展问题 空间几何体的侧面展开图 (1)圆柱的侧面展开图是矩形． (2)圆锥的侧面展开图是扇形． (3)圆台的侧面展开图是扇环． 规律方法　空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边． 【例1】(2023·鞍山模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为(　　) A．6 B．6 C．8 D．8 【变式1】（23-24高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三上·广东揭阳·期末）已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 考点二：表面积与体积 1．旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (3)S球表＝4πR2(R为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式 (1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)． (2)V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)． (3)V台＝(S上＋＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)． (4)V球＝πR3(R为球的半径)． 规律方法　空间几何体的表面积与体积的求法 (1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解． (2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体． (3)等体积法：选择合适的底面来求体积． 【例2】(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　　) A．1 B. C．2 D．3 【变式1】（2024·河北·一模）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，M，N，P，Q分别是线段，，，的中点，点D在线段上，则下列结论错误的是（    ） A．三棱柱外接球的表面积为 B． C．面 D．三棱锥的体积为定值 【变式3】（2024·贵州毕节·一模）如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 考点三：多面体与球 求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； (2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可． 规律方法　(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解． (2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径 【例3】(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________． 【变式1】（2024·湖南邵阳·二模）已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·上海虹口·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·浙江·二模）在三棱锥中，底面是边长为2