北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高三下学期3月零模数学试题

北京师范大学附属实验中学 2023—2024学年度第二学期高三数学“零模”试卷（2024.3） 班级________ 姓名________ 学号________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．记复数的共轭复数为，则（ ） A．1 B． C．i D． 3．已知曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A． B． C． D．2 4．设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A．4 B．6 C．10 D．12 5．在的展开式中，项的系数为（ ） A． B．20 C． D．40 6．中，，则将以为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 7．函数，记，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知向量，则________． 12．已知满足：，则________；________． 13．设点在抛物线上，已知． 若，则________；若，则直线斜率的最小值为________． 14．四棱锥中，底面为矩形，，四条侧棱长度均相等．若平面平面，则该四棱锥的高为________；二面角的余弦值为________． 15．已知无穷数列满足：对任意，有，且．给出下列四个结论： ①存在无穷多个，使得； ②存在，使得； ③对任意，有； ④对任意，存在互不相同的，使得． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（13分）在中，角所对边分别为，已知：． （Ⅰ）求； （Ⅱ）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积． ①； ②； ③． 17．（14分）如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）判断与是否垂直，并说明理由； （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值． 18．（13分）某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 7 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 7 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． （Ⅰ）若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （Ⅱ）假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并以频率估计概率．记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同．记为各轮较高分的算数平均值，为各轮较低分的算数平均值，为各轮两次的平均分的算数平均值．试比较与的大小（结论不要求证明）． 19．（15分）已知函数． （Ⅰ）求的图像在点处的切线方程； （Ⅱ）讨论的单调区间； （Ⅲ）若对任意，都有，求的最大值．（参考数据：） 20．（15分）已知椭圆的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程． 21．（15分）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数． （Ⅰ）若，直接写出所有满足条件的集合； （Ⅱ）若，且对任意，都有，求的最大值； （Ⅲ）若且对任意，都有，求的最大值． 北京师范大学附属实验中学 2023－2024学年度第二学期高三数学“零模”（2024.3） 参考答案及评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C B D D B A C C 二、填空题 11．1 12． 13．3；1 14．3； 15．①③④ 三、解答题 16．解：（Ⅰ）由正弦定理： 由余弦定理： 由于，则 （Ⅱ）若选②：由正弦定理：，即 故，由于，则 因为，所以 且 故的面积 若选③： 由余弦定理：，已知，所以 由（Ⅰ）知：，即 联立得，所以或（舍） 进而的面积 17．解：（Ⅰ）连接，