立体几何之圆锥圆柱型讲义-2024届高三数学二轮复习

立体几何 之圆锥圆柱型 1．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点． (1)求证：当为中点时，平面； (2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置． 解析（1）连接，因为，分别为，的中点， 所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）如图：过点作交圆与， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设，，则，所以， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则，， 即， 易知平面的一个法向量为， 则， 解得（负值舍去），所以是线段靠近点的四等分点. 2．如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、． (1)求证：平面平面． (2)当二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 解析（1）证明：是圆的切线，， 由圆锥的性质知顶点在底面圆上的投影为底面圆心， ∴平面，又平面， ∴平面平面， 平面平面，平面， 平面， ， ，，则，， 又，、平面， 平面， 平面， 平面平面． （2），且为的中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面， ，， 为二面角的平面角，即， ， 在中，，， ， 四棱锥的体积． 3．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，． (1)求圆锥的表面积； (2)求证：平面平面． 解析（1）圆锥的侧面积， 底面积， 故表面积. （2）证明：由圆锥的性质知，平面， 因为平面，所以， 因为是底面圆的一条直径，所以 又是的中点，所以， 又，平面，平面 所以平面，又平面，所以平面平面． 4．如图，为圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，，是底面圆弧的三等分点，，分别为，的中点． (1)证明：点在平面内． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 解析（1）连接，如图， 因为，是底面圆弧的三等分点， ， ， 均为等边三角形， ，则四边形为菱形，， 因为，分别为，的中点，， ，故点在平面内. （2）作，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，则， 故， 设平面的法向量，则， 令，得，所以， 易知平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为 5．如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点． (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积． 解析（1）由题设，底面圆，又是切线与圆的切点， ∴底面圆，则，且，而， ∴平面. （2）由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系， 又，可得， ∴，，，有，， 若是面的一个法向量，则，令，则， 又面的一个法向量为， ∴，可得， ∴该圆锥的体积． 6．如图，ABCD为圆柱底面的内接四边形，AC为底面圆的直径，PC为圆柱的母线，且．    (1)求证：； (2)若，点F在线段PA上，且，求二面角的余弦值． 解析（1）因为为底面圆的直径，则， 又，，所以，所以， 结合为底面圆的直径，利用圆的对称性可得， 又为圆柱的母线，即平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）以为原点，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，      在中，因为，所以， 设与相交于，在中，，则， 则，，，， 因为，所以， 则， 又，， 设平面的一个法向量为，则， 取，得，，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，得，，则， 设二面角的平面角为，易知， 所以， 故二面角的余弦值为. 7．如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1. （1）证明：； （2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值. 解析（1）因为为直径，点D在圆上且不同于A，C点， 所以，又因为为母线， 所以平面，又平面， 从而，又， 所以平面， 又平面， 所以. （2）由（1）知两两相互垂直，所以分别以向量为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，圆柱的底面直径为2，所以，所以， 又B为的中点，所以，即为正方形， 所以， 由，得， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，          又因为平面的法向量可取为， 所以， 由题知， 所以，解得（舍）或， 所以的值为 8．在如图所示的半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，点F在上，点G在上且，P为的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正切值； (3)求二面角的正弦值. 解析（1）过F点作圆柱的母线交于H， 因为与均为圆柱的母线，所以且， 所以四边形为平行