大题06 导数及其应用（四大经典题型）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题06导数及其应用（四大经典题型） 导数综合和数列综合可以互相颠倒为最后的压轴题。因此，如果上海2024届高考数学难度要提升的话，必定要把导数和数列分开考查，位置放在最后两道答题进行考查。由于数列综合题目作为历届上海高考数学常考的压轴题，同学们也比较熟悉，所以难度变数最大的就是“导数综合”题了。如果放在最后的压轴题的话，难度就比较大了。“导数综合”的题型也比较多，包括求切线，证明单调性、比大小、求条件参数、极值分布、零点个数、极值点偏移、不等式恒成立、构造和放缩等。 题型一：利用导数研究函数的单调性 （2023•甲卷）已知，． （1）若，讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 1．（2023秋•大武口区校级期末）已知函数． （1）当，求的单调区间； （2）若有三个零点，求的取值范围． 2．（2023秋•温州期末）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数的局部对称点，求实数的取值范围． 3．（2024春•射洪市校级月考）函数． （1）若函数在区间，上单调递增，求的取值范围； （2）当时，讨论函数在区间，上的单调性． 1．（2023•徐汇区校级三模）设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质（a）． （1）设函数，其中为实数． （ⅰ）判断函数是否具有性质（b），请说明理由； （ⅱ）求函数的单调区间． （2）已知函数具有性质（2）．给定，，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围． 2．（2023•虹口区二模）设，，． （1）求函数，的单调区间和极值； （2）若关于不等式在区间，上恒成立，求实数的值； （3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，，，，求证：，，成等比数列． 3．（2023•宝山区校级三模）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值； （3）已知函数，．对存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围． 4．（2023•长宁区校级三模）已知，． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）当时，曲线在相异的两点，点处的切线分别为和，和的交点位于直线上，证明：，两点的横坐标之和小于4； （3）当时，如果对于任意，，，，总存在以，，为三边长的三角形，求的取值范围． 5．（2023•普陀区二模）已知、，设函数的表达式为（其中． （1）设，，当时，求的取值范围； （2）设，，集合，，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，，均有成立，求的取值范围； （3）当，，时，记，其中为正整数．求证：． 6．（2023•黄浦区校级三模）设函数． （1）设，求函数的单调区间； （2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件； （3）设，，，证明：函数恰有一个零点，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得． 1．（2023•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 2．（2023•甲卷）已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 3．（2023•北京）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）设，求的单调区间； （Ⅲ）求的极值点的个数． 4．（2023•乙卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 题型二：利用导数研究函数的极值 （2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围． 1、极值的定义： （1