2024年中考数学复习讲与练专题03 二次函数综合运用讲义

专题03二次函数综合运用 认知定位 重点 1. 掌握各种几何图形的判定和性质； 2. 掌握一些特殊的解决存在性问题的方法. 难点 1. 找到满足条件的点； 2. 灵活地将二次函数与几何知识联系起来解决问题. 认知要求 1. 复习各种几何图形的判定和性质； 2. 综合运用二次函数与几何知识解决问题； 3. 掌握一些特殊的解决存在性问题的方法. 考点导航 考点1 等腰三角形存在性问题 考点精讲 1. 有两条边相等的三角形叫等腰三角形； 2. 性质：（1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 【精讲1】（2023秋•宜春期末）如图，抛物线与轴交于点，顶点为点． （1）直接写出抛物线的对称轴是 　　，用含的代数式表示顶点的坐标 　　； （2）把抛物线绕点旋转得到抛物线（其中，抛物线与轴右侧的交点为点． ①当时，求线段的长； ②在①的条件下，是否存在为等腰三角形．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线，； （2）①6； ②存在为等腰三角形，理由见解答过程；当取或时，为等腰三角形． 【分析】（1）根据二次函数的性质，求解即可； （2）①利用旋转的性质可得，令，确定点的坐标，即可求解； ②分三种情况，讨论求解即可． 【解答】解：（1）抛物线， ，， 故答案为：直线，； （2）①由旋转知，， 当 时，，， ， ， ， ， ； ②存在为等腰三角形，理由如下： ，， ，， ，， 当时，， 解得：， （舍去）； 当时，， 解得：， （舍去）； 当时，，不成立， 即当取或时，为等腰三角形． 名师点拨 求点坐标的方法：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间的距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解：若已知角相等也可通过全等或相似三角形求解． 考点2 直角三角形存在性问题 考点精讲 1. 有一个角是直角的三角形叫直角三角形； 2. 性质：（1）勾股定理；(2)直角三角形的两个锐角互余；（3）直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）边角关系：锐角三角函数. 【精讲2】（2023秋•济南期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为． ①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； ②连接，若，求的值． 【答案】（1）； （2）①在上是否存在点，使为直角三角形；，或，； ②． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①由于，不可能为直角，故分两种情况：当时，当时，分别求出点的坐标即可； ②连接，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，首先推导出，利用推导出，设，， 从而得出，进一步求得，通过证明，得到，代入得，解得． 【解答】解：（1）抛物线经过，两点，代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）①在上存在点，使为直角三角形，理由如下： ， ，不可能为直角； 当时，则， 轴， ， 解得：， ，； 当时，过点作轴于，如图1， 则， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 解得：，， ， ， ， ，； 综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为，或，； ②如图2，连接，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点． 在中，，， ， ， ， 由（2）知， ， 由题意得，， ， 由题意知，四边形、四边形都是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ． 名师点拨 求解方法： 方法一：设出点P的坐标，表示出三边的长，分三个角分别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解； 方法二：找相似，利用相似三角形的性质求解；通过构造一线三垂直利用相似求解； 方法三：特殊地，若有30°,45°或60°角，考虑用锐角三角函数求解； 方法四：利用两直线垂直表达式中k的关系求解． 考点3 相似三角形存在性问题 考点精讲 相似三角形的判定方法： 1. 定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 2. 平行法: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3. 两角对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. 性质：对应角相等；对应边成比例；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方 . 【精讲3】（202