第2章 推理与证明 单元测试-【优鸿】高中选修2-2数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-2 第⼆章 推理与证明 第二章 单元测试 1. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ① ，这与三角形内角和为 相矛盾，则 不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设 ， ， 中有两个角是直角，不妨设 . 正确顺序的序号排列为________． A. ③①② B. ③②① C. ①②③ D. ①③② 2. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 有有理根，那么 a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　   ). A. 假设a，b，c都是偶数 B. 假设a、b，c都不是偶数 C. 假设a，b，c至多有一个偶数 D. 假设a，b，c至多有两个偶数 3. 用数学归纳法证明“ 能被3整除”的第二步中， 时，为了使用假设，应 将 变形为(    ). A. B. C. D. 4. “自然数是整数，4是自然数，所以4是整数.”以上三段论推理(     ). A. 推理形式不正确 B. 完全正确 C. 不正确，因为两个“自然数”概念不一致 D. 不正确，因为两个“整数”概念不一致 5. 设k棱柱有 个对角面，则 棱柱对角面的个数为 (    ). A. B. C. D. 6. 在  中， 分别为a，b，c边所对的角，若a，b，c成等差数列，则 的范围是(      ). A. B. C. D. 7. 用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为 ， 令 . 显然，p不含因数 . 故p要么是质数，要么含有 ________的质因数．这表明，除质数 之外，还有质数，因此原假设不成立． 于是，质数有无限多个. 8. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 9. “无限小数是无理数，而 ( )是无限小数，所以 是无理数.”这个推理是 ____________推理.(在“归纳”“类比”“演绎”中选择填空)  10. 如图所示是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数 (     ). 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 …，第n个三 角形数为  .记第n个k边形数为 ，以下列出了部 分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数   ， 六边形数   ， …… 可以推测 的表达式，由此计算 ________. 12. 观察下列不等式 照此规律，第五个不等式为________. 13. 若平面内有 ，且 ，则 一定是 ____________(形状)三角形.  14. 在解决问题“证明数集 没有最小数”时，可用反证法证明.假设 是A中的最小数，则取 ，可得 ，与假设中“a是A中的最小数”矛盾.那么对 于问题“证明数集 并且 没有最大数”，也可以用反 证法证明.我们可以假设 是B中的最大数，则可以找到 ____________(用 表示)，由此可知 ，这与假设矛盾.所以数集B没有最大数. 15. 已知 ，求证 ． 16. 在 中，不等式 成立；在四边形ABCD中，不等式 成立；在五边形ABCDE中，不等式 成立．猜想在n边形 中，有怎样的不等式成 立. 17. 猜想 的值. 18. 已知数列 满足 .  (1)求 ； (2)求证：数列 是等差数列，并写出数列 的一个通项公式． 个 个 19. 设 均为自然数，称 为无穷连分数.例如：  ，这 里 ，请你将 也写成与上式类似的无穷连分数，并写出 .  20. 已知递增等差数列 满足： ，且 成等比数列. (1)求数列 的通项公式 ； (2)若不等式 对任意 恒成 立，试猜想出实数m的最小值，并证明. 参考答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 A 6 C 7 质数只有有限多个；除 之外 8 A 9 演绎 10 11 1000 12 13 等边 14 15 ∵ ， ∴ ， ， ， . 要证 ， 需证
. 因为 ， 所以 成⽴， 由此可知， . 16 ( ，且 ) 17 18 （1） （2）由 可得: 即 . ∴数列 是等差数列. ∵ 且 ， ∴数列 是⾸项为 ，公差是1的等差数列. 则 . 所以数列 的通项公式为 .

19 ； 20 （1） （2） 将不等式 ， 两边同时乘以
得： 则不等式 对任意 恒成⽴， 即
对任意 恒成⽴， 个 ， ， ， ∴求实数m的最⼩值，即求 的最⼤值. 令 . ∵ 作差可得 ， ∴推测当 时， 取得最⼤值，即