第34期 推理与证明综合(参考答案见35期)-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-2（人教A版）

书 高中数学人教 Ａ（选修２－２）２０２２年２月 第３２～３５期参考答案 ３２期１版跟踪训练参考答案 归纳推理 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ． ４．４８．　５．ａｋ－１＋ａｋ＋… ＋ａ２ｋ－２． ６．解：（１）因为ａｎ ＝ １ ｎ（ｎ＋１）， 所以ａ１ ＝ １ ２，ａ２ ＝ １ ６，ａ３ ＝ １ １２． 所以Ｓ１ ＝ １ ２，Ｓ２ ＝ ２ ３，Ｓ３ ＝ ３ ４． （２）通过Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的值，猜测Ｓｎ ＝ ｎ ｎ＋１． 类比推理 １．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４． Ｔ８ Ｔ４ ．　５．１∶８． ６．解：因为在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得 ａｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ ＝ ｃｓｉｎＣ． 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体 Ｓ－ＡＢＣ 中，我们猜想： Ｓ１ ｓｉｎα１ ＝ Ｓ２ ｓｉｎα２ ＝ Ｓ３ ｓｉｎα３ ． 演绎推理 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ａ．　４．大前提错误；　５．不正确． ６．证明：因为如果一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ ≠０）的Δ＝ｂ２－４ａｃ＞０，那么方程有两相异实根． （大前提） 一元二次方程ｘ２－２ｍｘ＋ｍ－１＝０的Δ＝ｂ２－４ａｃ ＝４ｍ２－４（ｍ－１）＝（２ｍ－１）２＋３＞０． （小前提） 所以方程ｘ２－２ｍｘ＋ｍ－１＝０有两相异实根． （结论） ３２期３版参考答案 合情推理与演绎推理同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＣＢＡＢ　ＣＡＣＡ 提示： ２．由数列槡２，槡５，槡８，槡１１，…，可知槡２０是第７项． ３．因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的 平方都大于０”是错误的，即大前提错误，故选（Ａ）． ４．只有（Ｂ）选项是类比推理． ５．由条件可归纳出１＋３＋５＋… ＋（２ｎ－１）＝ｎ２， 由此可得选项（Ｃ）应为１＋３＋５＋… ＋２００９＝１００５２， 即选项（Ｃ）不正确． ６．设五份儿中，中间的一份儿是 ａ，公差是 ｄ（ｄ＞ ０），则（ａ－２ｄ）＋（ａ－ｄ）＋ａ＋（ａ＋ｄ）＋（ａ＋２ｄ）＝５ａ ＝１００，ａ＝２０．由 １７（ａ＋ａ＋ｄ＋ａ＋２ｄ）＝ａ－２ｄ＋ａ－ ｄ，得３ａ＋３ｄ＝７（２ａ－３ｄ），所以ｄ＝５５６．所以最小的一 份为ａ－２ｄ＝２０－１１０６ ＝ ５ ３． ７．根据题意 ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝２×１１＋２＝ ２ ３，ｆ（３）＝ ２×２３ ２ ３＋２ ＝２４，ｆ（４）＝ ２×１２ １ ２＋２ ＝２５，…，可以归纳ｆ（ｘ）为 分数，且其分子为２不变，分母为ｘ＋１，即ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋１． ８．由题意结合所给的例子类比推理可得： ３＋２槡 ｘ ＝ｘ（ｘ≥０），整理得：（ｘ＋１）（ｘ－３）＝０，则ｘ＝３， 即 ３＋２ ３＋２槡槡槡 … ＝３． 二、填空题 ９．ｎ＋（ｎ＋１）＋… ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２； １０．８９． 提示： １０．由规律得ａ＝９２－１，ｂ＝９ａ＋ｂ＝８９． 三、解答题 １１．解：当ｎ＝２时，交点个数ｆ（２）＝１； 当ｎ＝３时，交点个数ｆ（３）＝３； 当ｎ＝４时，交点个数ｆ（４）＝６； 当ｎ＝５时，交点个数ｆ（５）＝１０． 归纳猜想：ｆ（ｎ）＝ １２ｎ（ｎ－１）（ｎ≥２）． １２．解：一般形式：ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋６０°）＋ｓｉｎ２（α＋ １２０°）＝ ３２． 证明：左边 ＝１－ｃｏｓ２α２ ＋ １－ｃｏｓ（２α＋１２０°） ２ ＋ １－ｃｏｓ（２α＋２４０°） ２ ＝ ３ ２－ １ ２［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ（２α＋１２０°） ＋ｃｏｓ（２α＋２４０°）］＝３２－ １ ２［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２αｃｏｓ１２０°－ ｓｉｎ２αｓｉｎ１２０°＋ｃｏｓ２αｃｏｓ２４０°－ｓｉｎ２αｓｉｎ２４０°］＝３２－ [１２ ｃｏｓ２α－ １２ｃｏｓ２α－槡３２ｓｉｎ２α－ １２ｃｏｓ２α＋ 槡３ ２ｓｉｎ２ ]α ＝ ３２ ＝右边 ( ． 将一般形式写成ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋ ６０°）＝３２，ｓｉｎ ２（α－１２０°）＋ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＝３２ )等均正确 １３．证明：（１）记Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ，Ｓ△ＯＢＣ ＝Ｓ１，Ｓ△ＯＡＣ ＝Ｓ２， Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ３，则Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３，所以１＝ Ｓ１ Ｓ＋ Ｓ２ Ｓ＋ Ｓ３ Ｓ． 因为△ＡＢＣ与△ＯＢＣ同底ＢＣ，故 Ｓ１ Ｓ ＝ ＯＡ′ ＡＡ′， 同理， Ｓ２ Ｓ ＝ ＯＢ′ ＢＢ′， Ｓ３ Ｓ ＝ ＯＣ′ ＣＣ′，所以 ＯＡ′ ＡＡ′＋ ＯＢ′ ＢＢ′＋ ＯＣ′ ＣＣ′＝１． （２）推广：设Ｏ是四面体ＡＢＣＤ内一点，延长ＡＯ，ＢＯ， ＣＯ，ＤＯ分别交对面于Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， 则 ＯＡ′ ＡＡ′＋ ＯＢ′ ＢＢ′＋ ＯＣ′ ＣＣ′＋ ＯＤ′ ＤＤ′＝１． 证明：仿（１），点Ｏ将四面体Ａ－ＢＣＤ分为四个小四 面体Ｏ－ＢＣＤ，Ｏ－ＡＣＤ，Ｏ－ＡＢＤ，Ｏ－ＡＢＣ． 所以ＶＡ－ＢＣＤ