第1章 导数及其应用 单元测试-【优鸿】高中选修2-2数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-2 第⼀章 导数及其应⽤ 第一章 单元测试 1. 等于（    ）. A. B. C. D. 2. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（     ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，图中曲线方程为 ，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是(    ). A. B. C. D. 4. 若 ，其中 ，则 （     ）. A. B. C. D. 5. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 （t的单位： ，v的单位： ）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位： ） 是（     ）. A. B. C. D. 6. 内接于半径为R的半圆中的矩形，周长最大的矩形的边长为(    ). A. 和 B. 和 C. 和 D. 其它都不对 7. 设 在 和 处均有极值，则下列点中一定在x轴 上的是（    ）. A. B. C. D. 8. 若函数  在区间 内不存在极值点，则a的取值范围是 __________. 9. 若曲线 上点P处的切线平行于直线 ，则点P的坐标是________. 10. 函数 ，若 ，其中 ，则 等于 _________. 11. 点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值是 ________. 12. 等差数列 的前n项和为 ，已知 ，则 的最小值为__________． 13.  若函数 的图象关于直线 对称，则 的最大值为 ____________. 14. 从如图所示的圆 内任取一个点 ，则点M取自阴影部分的概率为 ________. 15. 已知函数 . (1)设  ，求方程 的根； (2)在第（1）问的条件下，若对任意  ，不等式 恒成立，求实 数 的最大值； (3)若  ，函数 有且只有1个零点，求 的值. 16. 计算定积分： . 17. 设 ，求 . 18. 已知 ，且 ， ，求a， b，c的值. 19. 设函数 ，求函数 的单调区间与极值. 20. 设函数 ，曲线 在点 处的切线为 . (1)求a，b； (2)证明： . 21. 在直角坐标系xOy中，曲线C： 与直线 交于M，N两点. (1)当 时，分别求C在点M和N处的切线方程； (2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有 ？说明理由. 22. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 . (1)求  、 的值； (2)如果当 ，且 时， ，求 的取值范围. 23. 如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求B在AM上， D在AN上，且对角线MN过C点， . (1)要使矩形 的面积大于 ，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积； (3)若AN的长度不小于 ，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出 最小面积. 参考答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 A 7 D 8 或 9 10 11 12 13 16 14 15 （1） （2） （3） 16 17 18 19 单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；极⼤值为 ，极⼩值 为 20 （1） （2）∵ ， ∴函数 . 要证 ， 需证 ， ∵ ， ， ∴两边同乘以 得 ， . 设函数 ，则 ∵当 时， ， ∴当 时， ； 当 时， . ∴ 在 内单调递减，在 内单调递增. ∴ 在 上的极⼩值也是最⼩值为 . 设函数 ，则 ∵当 时， ， ∴当 时， ； 当 时， . ∴ 在 内单调递增，在 内单调递减. ∴ 在 上的极⼤值也是最⼤值为 . ∵函数 的最⼩值为 ， 函数 的最⼤值为 ， ∴当 时， 恒成⽴， 即 . ∴ . ∴ 恒成⽴. 21 （1） 和 （2）存在， 22 （1） （2） 23 （1） （2） （3）