2.3 数学归纳法-【优鸿】高中选修2-2数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-2 难度1 第⼆章 推理与证明 数学归纳法 1. 用数学归纳法证明： 首项是 ，公差是d的等差数列的通项公式是  ，前n项和的公式是  .  2. 用数学归纳法证明： . 3. 已知 ，且 ，且 ，求证： .  4. 已知 ，存在自然数m，使得对任意正整数n，都能使m整除 ，猜测出最大的m的值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的. 5. 有 个飞机场，每个机场都有一架飞机，各个机场之间的距离互不相等， 现让所有的飞机一起起飞，飞向最近的机场降落，求证：必存在一个机场没有飞机降 落.  6. 设数列 的前n项和为 ，且 (1)求 ； (2)求 的表达式. 参考答案 1 证明 ： 当 时，左边 ,右边 ， 所以当 时， 成⽴.
假设 时， 成⽴， 即 . 当 时， 所以当 时， 也成⽴. 由上两步结论知，对于任意的
， 都成⽴. 所以⾸项是 ，公差是d的等差数列的通项公式是
.
证明 ： 当 时，左边
，右边 ， 成 ⽴. 假设 时， 成⽴， 即 ， ⼜因为 ， 所以当 时， 所以当 时， 也成⽴， 由上两步结论知，对于任意的 ， 都成⽴. 所以⾸项是 ，公差是d的等差数列的前n项和公式是 .
2
： ①当 时，左边
，右边 ，等式成⽴. ②假设 时等式成⽴， 即 ， 当 时， 所以当 时，等式也成⽴. 由①②知，对于任意的 ，等式 都成⽴.
3 对于不等式 ， 当 时，左边 ，右边 .
左边 右边
∵ ， . 即左边 右边 ，则左边 右边. 故，当 时，不等式成⽴. 假设 时， .
则当 时， 不等式左边 ，
∵ ， . 则左边 ， 不等式右边 . 左边 右边


∵ ， . 即左边 右边 ，左边 右边. 故，假设 时，不等式成⽴，则当 时，不等式也成⽴. 综合 可知，当 ，且 ，且 时， . 4 36； 都能被36整除，假设 时， 能被36整除，则当 时， 也能被36整除. 所以 都能被36整除.
⼜ 不能被⼤于36的数整除，所以最⼤的m的值是36. 5 当 时， ，则有3个机场，3架⻜机. 将3个机场分别编号为 ，由于各个机场之间距离互不相等，故不妨设 号机场间的距 离为 号机场间的距离为 号机场间的距离为c，且 ，如图所⽰： 由于⻜机⼀起起⻜，⻜向最近的机场降落，则由图可知， 号机场的⻜机必然对⻜，3号机 场的⻜机必然⻜向2号机场，则3号机场没有⻜机降落. 故当 时，必存在⼀个机场没有⻜机降落. 假设当 时， 个机场中存在⼀个机场没有⻜机降落. 当 时，共有 个⻜机场，由于各个机场之间距离互不相等，故必然有 两个机场之间的距离是最短的，则这两个机场的⻜机必然对⻜，不会影响其他机场，将这两个 机场“退出”，由归纳假设可知，在剩下的 个机场中，存在⼀个机场没有⻜机降落， 再把“退出”的两个机场“放进”，可知， 个机场中，存在⼀个机场没有⻜机 降落. 因此，当 时，必存在⼀个机场没有⻜机降落. 综上可知，对于任意
，必存在⼀个机场没有⻜机降落. 6 （1） （2） 高中数学·人教版高中数学选修2-2 难度2 第⼆章 推理与证明 数学归纳法 1. 用数学归纳法证明：  且 ，第二步证明 由“k到 ”时，左边增加的项数是(    ). A. B. C. D. 1 2. 已知 ，由不等式 启发我们可以得到 推广结论：  ，则 ________. 3. 用数学归纳法证明： .  4. 函数 ，定义数列 如下： 是过两点 的直线 与 轴交点的横坐标. (1)证明： ； (2)求数列 的通项公式. 5. 已知数列 中， (a为常数)， 是 的前n项和，且 是 与 的等 差中项.  (1)求 ；  (2)猜想 的表达式，并用数学归纳法加以证明； (3)求证：以 为坐标的点 都落在同一直线上. 参考答案 1 B 2 3 对于
当 时，左边 ，右边 ， 左边 右边，不等式成⽴. 假设 时， .
则当 时， 不等式左边 右边 .
左边 右边，不等式成⽴.


综上，知 成⽴. 4 （1）∵ ， ， ∴ . ∴ . ∵直线 过两点 、 ， ∴直线 的两点式⽅程为： ， 整理，得： . ∵ 是直线 与 轴交点的横坐标， ∴ . ⼜∵ ， ∴ . 假设当 时， 成⽴， 当 时： ∵ 过点 和 ， ∴直线 的⽅程为： 整理，得 . ∵ 是直线 与 轴交点的横坐标， ∵ ， ∵ ， ∴ . ∴ . ∵ ， . ∵ ， 故当 时， . 综上可知，对于任意的正整数n，都有 . （2） 5 （1） （2）由 可猜想： 由上述可知，当 时，猜想成⽴. 假设 时，猜想成⽴， 即， . ∵
∴当 时， ∵
故，
时，猜想成⽴. 根据前两步可证： 成⽴.