2.2 直接证明与间接证明-【优鸿】高中选修2-2数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-2 难度1 第⼆章 推理与证明 直接证明与间接证明 1. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 ”时，反设正确的是(　  　). A. 假设三内角至多有两个大于 B. 假设三内角都大于 C. 假设三内角都不大于 D. 假设三内角至多有一个大于 2. 已知 ，证明关于x的方程 有且只有一个根． 3. 在不等边 中，A是最小角，求证： . 4. 是否存在常数C，使得不等式 对任意正数x， y恒成立?试证明你的结论. 5. 已知 ，且 ，求证：   参考答案 1 B 2 因为 ，由 ，得 ， 所以关于x的⽅程 有实数根. 假设关于x的⽅程 的根不⽌⼀个，则其⾄少有两个根，设 是它的两个 不同的根，则 . ∵ 是 不同的两个根， ①， ②. 由①得： ， 由②得： ， 所以 ， 这与假设 相⽭盾， 所以假设不成⽴. 所以关于x的⽅程 只有⼀个实数根. 3 该问题中的已知条件⽐较少，要求证的结论中含不等号，宜采⽤反证法.（可以把结论的反设 作为条件来使⽤） 因为“ ”的否定是“ ”，所以 的反⾯为 , 证明的第⼀步应该是：假设 . ∵
A是不等边三⻆形ABC的最⼩⻆(不妨设C为最⼤⻆)， . ∵ , . 这与三⻆形的内⻆和等于 ⽭盾. 所以假设不成⽴，原结论成⽴，即 . 4 令 ，得：

， 故， .
∵x，y为正数，即 ， ∴要证 ，只需证 即证，
显然成⽴， 故：对任意正数 恒成⽴. ∵x，y为正数，即 ， ∴要证 ，只需证 即证，
显然成⽴， 故：对任意正数 恒成⽴. 综上所述，存在 ，使得不等式 对 任意正数x，y恒成⽴. 5 ∵ ，且 ， ∴
， ∴要证
，需证

，需证
. ∵
， ∴
， 故，只需证 ∵
， ∴
， 故，只需证
即证：
∵ ， ∴
∴
.
高中数学·人教版高中数学选修2-2 难度2 第⼆章 推理与证明 直接证明与间接证明 1. 证明不等式 的最适合的方法是(     ). A. 综合法  B. 分析法 C. 合情推理法 D. 间接证明法 2. 已知 ，且  ，求证  . 3. 设 是 的等差中项， 是 的等比中项，求证  . 4. 若a，b，c为不全相等的正数，求证： .  5. 如图所示，正三棱柱 的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点. (1)求证： 平面   (2)求证： 平面 .  (3)求三棱锥 的体积. 参考答案 1 B 2 ∵ ，且 ，


∴ ， ，
.
要证 ， 只需证
.
由 两边同时加1， 可得
， 所以 成⽴.
3 因为 是 的等差中项， 所以 ①. 因为 是 的等⽐中项， 所以 ②.
将①式两边平⽅得：
， ， 因为 , 所以 ③
. ⼜因为 ②， 所以
.
因为 ， 所以 . 同理得， ， 将其代⼊ 得： ， 化简得: ，
将上式两边同时平⽅得： ， ， 化简得 ， 即
.
4 要证 ，
只需证 . ∵ 是定义域上的增函数， ∴只需证
. ∵a，b，c为不全相等的正数， 且三式中等号不能同时成⽴， . 综上， .
5 （1）∵
是正三棱柱， ∴
平⾯ABC， 是正三⻆形. ∵点D是BC的中点， 是正三⻆形， ∴ .
∵
平⾯ABC，直线AD在平⾯ABC内， ∴

, ∵
， ⼜∵
,且直线 在平⾯ 内， 直线AD在平⾯ 外， ∴ 平⾯ .
（2）连接
，交 于点O，连接OD.
∵ 是正三棱柱， ∴四边形 是矩形.
∵ 和 是矩形 的对⻆线，且 与 交于点O， ∴点O是 的中点.
∵在 中，点O是 的中点，D是BC的中点， ∴ .
∵
且 在平⾯ 外，OD在平⾯ 内， ∴ 平⾯ .
（3） 高中数学·人教版高中数学选修2-2 难度3 第⼆章 推理与证明 直接证明与间接证明 1. 已知 ，求证 ． 2. 在 中，若 ，则 是直角三角形. 现请你研究：若 ，问 为何种三角形？为什么？ 3. 若 ，求证 ． 4. 已知函数 .  (1)证明：函数 在 上为增函数； (2)用反证法证明方程 没有负根． 参考答案 1 ∵ ，

∵ ， 综上， . ∵ ， ∴ . 2 锐⻆三⻆形 3 由 ， 得 ， 即 . 要证 ， 只需证 ， 只需证 . 只需证 . 因为由 ，得 ， 所以 得证.
4 （1）∵
, ∵ ， ∴ . 对于 ，都有
, ⼜∵
, ， 即 . ∵当 时， ， ∴ 在 上为增函数． （2）假设存在 满⾜
. ∵函数 且 ， . ∴ ∵ 且 ， ， . 解 ，即 . 或 解得， . 解 ，即 . ， ， ， ， 或 解得， 或 . 综上，不等式 的解集是 与 或 的