3.2 立体几何中的向量方法-【优鸿】高中选修2-1数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-1 难度1 第三章 空间向量与⽴体⼏何 立体几何中的向量方法 1. 已知点 ，则面ABC的法向量可以是（　　）. A. B. C. D. 2. 若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（　　）. A. B. C. D. l与 斜交 3. 正三棱柱 的底面边长为3，侧棱 ，D是CB延长线上一点，且 ，则二面角 的大小为(    ). A. B. C. D. 4. 三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异 面直线 与 所成角的余弦值为________. 5. 如图，已知空间四边形OABC中， ， ，求证： . 6. 如图， 的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直于AB．已知 ，求CD的长． 7. 如图，两条异面直线 所成的角为 ，在直线 上分别取点 ，E和点A，F，使 ，且 ( 称为异面直线 的公垂线).已知 ，求公垂 线 的长. 8. 如图，三棱柱 中， . (1)证明 ； (2)若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦 值. 9. 已知 和 所在的平面互相垂直，且 ， (1)求：直线AD与平面BCD所成角的大小； (2)直线AD与直线BC所成角的大小； (3)二面角 的余弦值. 10. 如图所示，在三棱锥 中， 平面ABQ， ，D，C，E，F分 别是AQ，BQ，AP，BP的中点， ，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H， 连接GH． (1)求证： . (2)求二面角 的余弦值. 参考答案 1 A 2 A 3 C 4 5 由图可知， . ∵ ， . ∵ ， ∴ . 6 7 8 （1）如图，取 的中点为 ，连接 ， . ∵ ， 为 的中点， ∴ . ∵ ， ， ∴ 为等边三⻆形. ∴ . ∵ ， 平⾯ ， 平⾯ ， ∴ 平⾯ . ∵ 平⾯ ， ∴ . （2） 9 （1） （2） （3） 10 （1）∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， ∴ ， . ∴ . ∵ 平⾯PDC， 平⾯PDC， ∴ 平⾯PDC. ∵平⾯ 平⾯ ，
平⾯EFQ， ∴ . ⼜∵ ， ∴ . （2） 高中数学·人教版高中数学选修2-1 难度2 第三章 空间向量与⽴体⼏何 立体几何中的向量方法 1. 在正方形ABCD中， ，沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角 ，则点B到直线CD的距离为(    ). A. B. C. D. 2. 在正方体 中，E为 的中点，则异面直线 和 间的距离 是________. 3. 设 分别是直线 的方向向量，根据条件判断直线 的位置关系： . 4. 如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的 中点，求证： . 5. 边长为 的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线，在其上取点V，使 ．连接VA，VB，VC，VD，且取VC的中点E. (1)求 ； (2)若 ，求 . 6. 在直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱) 中， ．点D是线段 的中点，点P是侧棱 上的 一点，且 ，求OP与底面AOB所成角的正切值. 7. 如图，四边形 为菱形， ， ， 是平面 同一侧的两点， 平面 ， 平面 ， ， . (1)证明：平面 平面 . (2)求直线 与直线 所成角的余弦值. 8. 如图，四棱锥 中， 平面 ， 为 的中点， 为 的中点， ， ， ，连接 并延长交 于 . (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 9. 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面ABCD， (1)求证： ； (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求k的值； (3)现将与四棱柱 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新 的四棱柱.规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案． 问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 ，写出 的解析式. 平面 参考答案 1 B 2 3 直线 平⾏ 4 设⼀个基底 如图，连接AN， 由图可知， ∵点M是AB的中点， 故 ∵点N是CD的中点， 则 由图可知， ∵空间四边形ABCD的每条边和AC的⻓都等于a， ∵空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的⻓都等于a， 都是等边三⻆形， ∵ ∵ 5 （1） （2） 6 7 （1）如图，连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ， ∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， 设 ， ， ∵点 是 的中点， ， ∴ . ∵ 平⾯ ， 平⾯ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ 平⾯ ， 平⾯ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . ∵ 平⾯ ， 平⾯ ， 平⾯ ， ∴ ， ， ∴四边形 是