利用导数处理函数零点问题3 课件——2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修1-1

高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 补充专题 利用导数处理函数零点问题（3） (2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数． (2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数． 题中问题等价于求函数F(x)的零点个数． 当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数， 所以F(x)有唯一零点；当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0； 1<x<m时，F′(x)>0， 所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增， (2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数． F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0， 所以F(x)有唯一零点． 综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图象总有一个交点． 例2.已知函数f(x)＝ x3－a(x2＋x＋1). (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点. f′(x)＝x2－6x－3. 例2.(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ x3－a(x2＋x＋1). (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点. 例2.已知函数f(x)＝ x3－a(x2＋x＋1). 证明　因为x2＋x＋1＞0在R上恒成立， 当且仅当x＝0时g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点. 综上，f(x)只有一个零点. 例2.已知函数f(x)＝ x3－a(x2＋x＋1). (2)证明：f(x)只有一个零点. 例3.(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R. (1)证明：ln x≤x－1； (2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数. 证明　令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)， 则g(1)＝0， 可得x∈(0,1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减. ∴当x＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值， ∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x≤x－1. 例3.(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R. (1)证明：ln x≤x－1； (2)若a≥1，讨论函数f(