利用导数处理恒成立问题2--讨论求最值 课件——2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修1-1

高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 补充专题 利用导数处理恒成立问题(2) -----讨论求最值 例1　已知函数f(x)＝ex－ax. (1)讨论f(x)的单调性； 解　f′(x)＝ex－a(x∈R)，当a≤0时，f′(x)>0， ∴f(x)在R上单调递增； 当a>0时，令f′(x)>0⇒x>ln a，令f′(x)<0⇒x<ln a， ∴f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． (2)当x∈[0，＋∞)时，都有f(x)>－a，求实数a的取值范围． 题型一　分类讨论求最值 (2)当x∈[0，＋∞)时，都有f(x)>－a，求实数a的取值范围． 解　依题意知，当x∈[0，＋∞)时，f(x)min>－a， 由(1)知，当a≤1时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(0)＝1>－a，∴－1<a≤1. 当a>1时，f(x)在[0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a>－a，解得1<a<e2. 综上，函数a的取值范围为(－1，e2)． 例1　已知函数f(x)＝ex－ax. 例2　已知函数f(x)＝aex－2x＋1.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； 解　当a＝1时，f(x)＝ex－2x＋1，则f′(x)＝ex－2， 令f′(x)<0，解得x<ln 2；令f′(x)>0，解得x>ln 2. 故函数f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 故函数f(x)的极小值为f(ln 2)＝2－2ln x＋1＝3－2ln 2，无极大值． (2)若f(x)>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． (2)若f(x)>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 例2已知函数f(x)＝aex－2x＋1； 例3　已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围． (2)当1－a<0，即a>1时，令φ′(x)＝0，得x＝ea－1－1， ∴x∈(0，ea－1－1)时，φ′(x)<0； x∈(ea－1－1，＋∞)时，φ′(x)>0， 解　　令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x