2.2 直接证明与间接证明 难度2-【优鸿】高中选修1-2数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修1-2 难度2 第⼆章 推理与证明 直接证明与间接证明 1. 证明不等式 的最适合的方法是(     ). A. 综合法  B. 分析法 C. 合情推理法 D. 间接证明法 2. 已知 ，且  ，求证  . 3. 设 是 的等差中项， 是 的等比中项，求证  . 4. 若a，b，c为不全相等的正数，求证： .  5. 如图所示，正三棱柱 的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点. (1)求证： 平面   (2)求证： 平面 .  (3)求三棱锥 的体积. 参考答案 1 B 2 ∵ ，且 ，


∴ ， ，
.
要证 ， 只需证
.
由 两边同时加1， 可得
， 所以 成⽴.
3 因为 是 的等差中项， 所以 ①. 因为 是 的等⽐中项， 所以 ②.
将①式两边平⽅得：
， ， 因为 , 所以 ③
. ⼜因为 ②， 所以
.
因为 ， 所以 . 同理得， ， 将其代⼊ 得： ， 化简得: ，
将上式两边同时平⽅得： ， ， 化简得 ， 即
.
4 要证 ，
只需证 . ∵ 是定义域上的增函数， ∴只需证
. ∵a，b，c为不全相等的正数， 且三式中等号不能同时成⽴， . 综上， .
5 （1）∵
是正三棱柱， ∴
平⾯ABC， 是正三⻆形. ∵点D是BC的中点， 是正三⻆形， ∴ .
∵
平⾯ABC，直线AD在平⾯ABC内， ∴

, ∵
， ⼜∵
,且直线 在平⾯ 内， 直线AD在平⾯ 外， ∴ 平⾯ .
（2）连接
，交 于点O，连接OD.
∵ 是正三棱柱， ∴四边形 是矩形.
∵ 和 是矩形 的对⻆线，且 与 交于点O， ∴点O是 的中点.
∵在 中，点O是 的中点，D是BC的中点， ∴ .
∵
且 在平⾯ 外，OD在平⾯ 内， ∴ 平⾯ .
（3）