2.2 直接证明与间接证明 难度1-【优鸿】高中选修1-2数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修1-2 难度1 第⼆章 推理与证明 直接证明与间接证明 1. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 ”时，反设正确的是(　  　). A. 假设三内角至多有两个大于 B. 假设三内角都大于 C. 假设三内角都不大于 D. 假设三内角至多有一个大于 2. 已知 ，证明关于x的方程 有且只有一个根． 3. 在不等边 中，A是最小角，求证： . 4. 已知 ，且 ，求证：   5. 是否存在常数C，使得不等式 对任意正数x， y恒成立?试证明你的结论. 参考答案 1 B 2 因为 ，由 ，得 ， 所以关于x的⽅程 有实数根. 假设关于x的⽅程 的根不⽌⼀个，则其⾄少有两个根，设 是它的两个 不同的根，则 . ∵ 是 不同的两个根， ①， ②. 由①得： ， 由②得： ， 所以 ， 这与假设 相⽭盾， 所以假设不成⽴. 所以关于x的⽅程 只有⼀个实数根. 3 该问题中的已知条件⽐较少，要求证的结论中含不等号，宜采⽤反证法.（可以把结论的反设 作为条件来使⽤） 因为“ ”的否定是“ ”，所以 的反⾯为 , 证明的第⼀步应该是：假设 . ∵
A是不等边三⻆形ABC的最⼩⻆(不妨设C为最⼤⻆)， . ∵ , . 这与三⻆形的内⻆和等于 ⽭盾. 所以假设不成⽴，原结论成⽴，即 . 4 ∵ ，且 ， ∴
， ∴要证
，需证

，需证
. ∵
， ∴
， 故，只需证 ∵
， ∴
， 故，只需证
即证：
∵ ， ∴
∴
.
5 令 ，得：

， 故， .
∵x，y为正数，即 ， ∴要证 ，只需证 即证，
显然成⽴， 故：对任意正数 恒成⽴. ∵x，y为正数，即 ， ∴要证 ，只需证 即证，
显然成⽴， 故：对任意正数 恒成⽴. 综上所述，存在 ，使得不等式 对 任意正数x，y恒成⽴.