大题强化及变式训练（16）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（16） 1．小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响. （1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率； （2）求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望. 变式：某商场在店庆日进行有奖促销活动，当日在该商场消费的顾客可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的7个球，其中3个红球，4个白球，顾客每次摸出1个球不放回，直到摸出所有的红球，则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定：摸出3个球停止摸奖获得200元奖金，摸出4个球停止摸奖获得100元奖金，摸出5个球停止摸奖获得50元奖金，其他情况获得10元奖金. （1）若顾客甲获得了100元奖金，求甲第一次摸到的球是红球的概率； （2）已知顾客乙获得了一次摸奖机会，记为乙摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望. 2．如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H. （1）从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求直线BD与平面的距离. 变式：如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 3．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在，使得，求实数的最大值. 变式：已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 4．已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中. （1）求数列的通项公式； （2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由. 变式：已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，. （1）求Γ的方程； （2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为. （ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：. 变式：椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程． （1）若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程； （2）若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线； （3）若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（16） 1．小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响. （1）求“联盟队”猜对4个灯谜的概率； （2）求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【分析】（1）题意可知小强和小基两位同学两轮猜谜都猜对，根据独立重复事件计算方式计算即可； （2）“联盟队”两轮得分之和，根据独立重复事件计算方式计算这6种情况概率即可. 【解析】（1）记事：两轮猜谜中，小强猜中第个；事件：两轮猜谜中，小基猜中第个. （2）“联盟队”两轮得分之和 所以“联盟队”两轮得分之和的分布列为 0 1 2 3 4 6 所求数学期望. 变式：某商场在店庆日进行有奖促销活动，当日在该商场消费的顾客可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的7个球，其中3个红球，4个白球，顾客每次摸出1个球不放回，直到摸出所有的红球，则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定：摸出3个球停止摸奖获得200元奖金，摸出4个球停止摸奖获得100元奖金，摸出5个球停止摸奖获得50元奖金，其他情况获得10元奖金. （1）若顾客甲获得了100元奖金，求甲第